limite d'une suite

[titi07]

bsr tt le monde;
comment peut-on démontrer que la limite d'une suite est "L" la racine de l'équation f(L)=L ; si cette suite est définie par f(Un-1)=Un
c.à.d une suite recurrente?
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[invite7ffe9b6a]

SI la limite existe,

Que se passe-t-il si l'ont fait tendre n vers l'infini dans l'expression:



(f étant une fonction continue )

[FonKy-]

hmm ok antho mais tu saurais le démontrer ? haha

[titi07]

je crois que f(L)=L

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

A fonky:

Je ne vois pas quelle est vraiment la question en faite:

si la question est quand est-ce que la limite existe, il faut que la fonction soit contractante

[invite7ffe9b6a]

je crois que f(L)=L

oui mais il y a des arguments a utilisés.

Le fait que la fonction soit continue est crucial

[titi07]

bien sur je parle du cas ou f est continue

[FonKy-]

ben allez hop, tu me sors les epsilon et au boulot !!

[titi07]

et ben faites la démo

[FonKy-]

A vrai dire , étant donné la question que tu pose titi tu comprendrai pas la démo ^^ mais je peux me tromper

[titi07]

et pourquoi je ne peux pas comprendre la démo ??

[invite7ffe9b6a]

Bon, je propose de récrire comme ceci




alors



on a

car ......

De plus,



car....


et on a




soit .....

[invite7ffe9b6a]

Tu n'a aucune idée pour compléter ce que j'ai écris dans mon post précédent?

Ou si tu as une autre maniere à proposer, propose on te dira si cela convient ou non

[titi07]

completez les vides pour comparer avec ce que j'ai mis

[invite7ffe9b6a]

completez les vides pour comparer avec ce que j'ai mis

que dire......

Le probleme c'est que je ne sais pas ce que tu es parvenu à remplir, ce que tu n'es pas parvenu à remplir, si tu comprends rien.


Quand tu as dit plus haut:


je crois que cela donne f(l)=l si on fait tendre vers l'infini, tu avais raison, je pense que tu as trouvé cela de manière intuitive.

Il faut maintenant le prouver rigoureusement, allons y petit à petit.


On a une suite défini par

U₀ et U_n+1=f(U_n)
(je l'écris comme cela pour simplifier un argument mais c'est exactement la même chose que U_n=f(U_n-1) ).


Bon on a donc

lim (U_n)= l.

lim(U_n+1)= .....

[titi07]

lim(Un+1)= l

[invite7ffe9b6a]

lim(Un+1)= l

exacte, alors la question c'est pourquoi.

Donne une explication même intuitive , je traduirais mathematiquement

[titi07]

parce que Un+1 et Un ont meme comportement quand n tend vers l'infini

[titi07]

je veux dire que
n tend vers l'infini c'est la meme chose que (n+1) tend vers l'infini

[invite7ffe9b6a]

parce que Un+1 et Un ont meme comportement quand n tend vers l'infini

Oui même si on tourne un peu en rond là.

En faite,

U_n+1 est une sous-suite de U_n.
U_n converge vers l donc U_n+1 converge vers l, puisque si une suite est convergente alors tout les sous-suites converge vers la même limite.


si cette notion de sous suite te dit rien, alors faisons le avec des epsilons:

Soit
On a U_n converge vers l




En particulier, si , alors

et comme on a

alors on a




soit la convergence de U_n+1 vers l.


Bon alors maintenant

[invite7ffe9b6a]

je veux dire que
n tend vers l'infini c'est la meme chose que (n+1) tend vers l'infini

C'est l'idée

[titi07]

la limite =l

[invite7ffe9b6a]

la limite =l

on oublie le fait que U_n+1=f(U_n) pour l'instant.


On a U_n qui tend vers l.

Donc f(U_n) tend vers .....

[titi07]

f(Un) tend vers f(l)

[invite7ffe9b6a]

f(Un) tend vers f(l)

oui, mais pourquoi?

[titi07]

parce que limf(x)=f(l) lorsque x tend vers l

[invite7ffe9b6a]

parce que limf(x)=f(l) lorsque x tend vers l

heu... c'est l'idée(on reviendra sur cela) et pourquoi a-t-on

??

[invite7ffe9b6a]

heu... c'est l'idée(on reviendra sur cela) et pourquoi a-t-on

??

parce que f est ....

[titi07]

parce que f est une fonction continue et donc elle est dérivable sur tout son domaine de définition

[invite7ffe9b6a]

parce que f est une fonction continue et donc elle est dérivable sur tout son domaine de définition

oula.... il existe des fonctions continues sur un intervalle I et dérivable nulle part sur I.

Oui f est continue
donc en particulier f est continue en l.
C'est l'argument important.

Il doit y avoir dans ton cours un truc qui dit:

soit

Soit , alors

f continue en l

pour tout suite à valeur dans I et convergent vers l , la suite converge vers f(l).

As-tu cette propriété de la continuité ?