Limite d'une suite convergente

[invitef3dd8bd8]

bonjour tout le monde et bonne année a tous ^^
Ma question qui est la suivante:
peut-on dire :"lim u (indice)n+1=f(L)
d'ou lim u (indice) n = f(L)" ???
Ah encore une autre question ^^

Pour montrer que un € [0,1]
en sachant que u(n+1)€ [0.5;1]
j'ai écrit :
" on a : 0.5<=u(n+1)<=1
on peut aussi écrire (2/4)<=u(n+1)<=(5/5)
u(n+1)=(3un+2)/(un+4)
donc (2/4)<=(3un+2)/(un+4)<=(5/5)
on a donc 2<=3un+2<=5 et 4<=un+4<=5 (oups)
0<=3un<=3 0<=un<=1
0<=un<=1
donc un €[0,1] "

voilà merci d'avance à ceux qui auront pris la peine de lire ce post
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[inviteca91afd0]

salut,

pour la premiere question,c'est vraie,si lim(un)=f(l) alors au rang suivant on tend aussi vers cette limite(logique),ms je crois qu'il doit y avoir des conditions pour f,par exemple f est monotone et un+1=f(un).

pour la deuxième question,la ligne ou tu as marqué "oups" me dérange un peu.
connaissant l'encandrement de (un) on va encadrer 3*un+2 puis on va encadrer un+4,on va donc en deduire un encadrement de (un+1) (préciser que un+4>0,dc ne change pas l'ordre).

voila.

[invitef3dd8bd8]

salut,

pour la premiere question,c'est vraie,si lim(un)=f(l) alors au rang suivant on tend aussi vers cette limite(logique),ms je crois qu'il doit y avoir des conditions pour f,par exemple f est monotone et un+1=f(un).

pour la deuxième question,la ligne ou tu as marqué "oups" me dérange un peu.
connaissant l'encandrement de (un) on va encadrer 3*un+2 puis on va encadrer un+4,on va donc en deduire un encadrement de (un+1) (préciser que un+4>0,dc ne change pas l'ordre).

voila.

au fait c'est l'inverse qu'on doit montrer connaisant un+1 on doit encadrer un

[invitebfd92313]

on a en effet le résultat suivant :
pour une suite réelle définie au moins à partir d'un certain rang (peu importe la suite), si u(n+1) est convergente, alors u(n) est convergente de meme limite.

Pour ta deuxieme question (enfin la question que je devine) :
si a/b < c/d, alors on a pas forcément a<c et b<d
par exemple : 2/6<1/2 et pourtant on a pas 2<1

Pour encadrer un quotient, il faut d'abord encadrer le numérateur, puis encadrer l'inverse du numérateur et enfin multiplier membre à membre (en faisant attention au signe des quantités.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3dd8bd8]

et on fait comment pour encadrer un quand on a u(n+1)=(3un+2)/(un+4)??
sachant que un+1 €[0.5;1]

[invitebfd92313]

Il faudrait qeu tu quantifies, je ne comprends pas clairement ce que tu cherches et ce qeu tu sais, 0.5<u(n+1)<1 quel que soit n ? ou celà s'inscrit dans une récurrence ?

[invitef3dd8bd8]

ben au fait on sait que 0.5<=un+1<=1 quel que soit n€N
et on doit montrer que 0<=un<=1

j'aimerais la faire sans avoir reccours à la reccurrence(sauf si c'est la seule solution)

[inviteca91afd0]

tu le fais au brouillon ds le sens que j'ai indiqué (c'est plus facile) et pour répondre à la question au propre ,tu "déroules" ton raisonnemnt ds l'autre sens!

[invitef3dd8bd8]

ouais j'ai essayé de faire ca mais disons que ya une ligne ou ca bug

parce que j'arrive pas au resultat de 0.5<=un+1<=1 ca me donne(si je fais l'inverse)
0<=un<=1
0<=3un<=3
2<=3un+2<=5
2/(un+4)<=(3un+2)/(un+4)<=5/(un+4) parce que un+4 positif quelque soit n
2/(un+4)<=un+1<=5/(un+4) ???
(jfais comment ?? )
0.5<=un+1<=1

[invitebfd92313]

si pour tout n 0.5<u(n+1)<1, alors il suffit de vérifier que 0<u(0)<1 et tu en déduis par une récurrence immédiate que pour tout n 0<u(n)<1

[inviteca91afd0]

ouais j'ai essayé de faire ca mais disons que ya une ligne ou ca bug

parce que j'arrive pas au resultat de 0.5<=un+1<=1 ca me donne(si je fais l'inverse)
0<=un<=1
0<=3un<=3
2<=3un+2<=5
2/(un+4)<=(3un+2)/(un+4)<=5/(un+4) parce que un+4 positif quelque soit n
2/(un+4)<=un+1<=5/(un+4) ???
(jfais comment ?? )
0.5<=un+1<=1

pas tout a fait,il faut que tu encadres un+4, au lieu de diviser par un+4, si tu trouves un+4>0 alors cela ne change pas l'odre en divisant par un+4,ds le cas contraire ca change l'ordre.

[inviteca91afd0]

en réalité, cela te donne:

0<un<1
donc 2<3*un+2<5 et 4<un+4<5
et la tu en déduis:1/2<un+1<1 en formant le quotient des 2 inégalités ci-dessus.

[invitef3dd8bd8]

en réalité, cela te donne:

0<un<1
donc 2<3*un+2<5 et 4<un+4<5
et la tu en déduis:1/2<un+1<1 en formant le quotient des 2 inégalités ci-dessus.

encore une question ^^"
Donc si on fait le raisonnement inverse :
0.5<=(3un+2)/(un+4)<=1
2/4<=(3un+2)/(un+4)<=(5/5) car 4<=un+4<=5
2<=3un+2<=5
0<=3un<=3
0<=un<=1
is it good ??

[invitebfd92313]

non ce n'est pas bon dans ce sens la, le raisonnement de luigi ne marche que pour trouver un encadrement de u(n+1) en partant de u(n) et non l'inverse.

[invitef3dd8bd8]

non ce n'est pas bon dans ce sens la, le raisonnement de luigi ne marche que pour trouver un encadrement de u(n+1) en partant de u(n) et non l'inverse.

Jpense que je vais essayer de montrer que (u_n) est bornée par 0 et 1:
d'abord montrer que quelque soit n€N (u_n) positif et quelque soit n€N u_n <=1 (avec la recurrence)
pour la première:
"on sait par hypothèse de récurrence que un positif quelque soit n" montrer que la propriété est vrai au rang n+1 on part de u_n pour arriver à un+1 et on trouve 2/(u_n+4)<=u_n+1 et comme 2/(u_n+4) est strictement positif donc un+1 aussi est strictement positif
pour la deuxième:
"on sait par hypothèse de récurrence que u_n<=1 quelque soit n" et montrer que la propriété est vraie au rang n+1
j'espere que c'est correct en tout cas merci à ceux qui m'ont repondu^^

[invite9f1bb552]

excuser moi de ressortir ce topic mais là j'ai un trou de mémoire soudain en maths, si l'on a par exemple une suite u décroissante avec a^(1/2)<un<a et un+1=f(un), lim (un) qu'est-ce ? f(a^(1/2)) ?
désolé parce que c'est un peu craignos comme question mais merci de me venir en aide

[invite9f1bb552]

honte à moi en plus, je suis plus au lycée

[invite9f1bb552]

allez me laisser pas tomber