repère projectif

[christophe_de_Berlin]

Bonjour, je viens de tomber sur une exo de géométrie projective qui m´a ouvert les yeux et m´a montré que je n´ai rien compris à cette histoire de repère projectif. Donc armez-vous de patience et de compassion et suivez mon raisonnement:

Je lis dans mon livre (M. Audin) la définition suivante d´un repère projectif:

E est un espace vectoriel de dimension n+1. On appelle repère projectif de P(E) un système de n+2 points (m₀, m₁,...m_n+1) de P(E) tels que pour i = 1 à n+1, m_i est l´image de e_i, avec (e₁,...e_n+1) une base de E, et m₀ est l´image de la somme e₁ + ... + e_n+1.

Bon, je veux bien.

Maintenant dans un exo, on me demande de prouver la chose suivante:

(m₀, m₁,...m_n+1) est un repère projectif de P(E) si et seulement si pour tout i, m_i n´est pas dans le sous-espace projectif engendré par les m_j pour j différent de i.

J´avais déjà vu cette définition équivalente d´un repère projectif, sans me poser de question. Mais voilà, maintenant je me pose la question suivante:

Cela veut dire que par exemple, m₀ n´est pas dans le sous-espace projectif engendré par m₁ à m_n+1. Or le sous-espace en question est à mon sens le sous-espace correspondant au sous-espace vectoriel engendré par m1 à m_n+1, c´est-à-dire... E lui-même. Horreur! Qu´est-ce qu´il vient faire ce m₀?

Merci pour votre aide
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[invite9cf21bce]

Bonsoir.

Je suis d'accord avec toi !

J'aurais plutôt dit que (m₀,...,m_n+1) est un repère projectif si et seulement pour tous i j, m_i n'est pas dans le sous-espace projectif engendré par les m_k, où k i et k j.

Autrement dit, toute partie à n+1 éléments est projectivement indépendante.

L'exercice est dans le même bouquin que la définition ?

Si le bouquin où tu as trouvé l'exercice définit (à tort...?) un repère projectif comme étant simplement l'image d'une base par la projection canonique, alors l'exercice a un sens.

Taar.

[christophe_de_Berlin]

oui l´exo est dans le même bouquin. Bon il s´agit certainement d´une erreur.