Matrice compagnon

[inviteb64a2f8e]

Bonsoir à tous !

Voilà j'aurais besoin de vos lumières pour un petit exercice d'algèbre linéaire. Voici l'énoncé :

Soit un -espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de admettant valeurs propres ,..., deux à deux distinctes. L'endomorphisme est donc diagonalisable et on note une base de constituée de vecteurs propres de respectivement associés à ,...,

Question 1 :

Soit . Montrer que la famille est une base de .

=> On a donc il suffit de montrer que la famille est libre.

Comme d'habitude j'ai donc posé tels que .

On a : .
La famille est libre donc on peut les "enlever". Mais après je bloque =S.
Je n'ai pas vraiment exploité l'hypothèse selon laquelle les sont valeurs propres de mais je ne vois pas trop comment l'exploiter.


Question 2 :

Montrer qu'il existe un polynôme tel que la matrice associé à relativement à la base soit la matrice compagnon du polynôme

=> Alors là je ne sais pas du tout rédiger ce problème d'existence. Je suppose qu'il existe et je vérifie que ça marche, je travaille sur la famille ,... ? Et surtout, je ne vois pas en quoi la question précédente peut nous aider pour cette question là.


Voilà je vous serais donc très reconnaissant de me donner quelques pistes pour m'aider !

Merci beaucoup !

ZimbAbwé.
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[invite9cf21bce]

Question 1 :

...

On a : .
La famille est libre donc on peut les "enlever". Mais après je bloque =S.
Je n'ai pas vraiment exploité l'hypothèse selon laquelle les sont valeurs propres de mais je ne vois pas trop comment l'exploiter.

Bonsoir.

Si si, tu as exploité le fait que les sont valeurs propres. Par contre, tu n'as pas exploité le fait qu'ils sont deux à deux distincts.

Pour cette question, comme tu l'as très bien montré, il suffit d'établir que si



alors

Ceci peut se faire (classiquement) de deux manières :

• on peut utiliser les propriétés du déterminant de Vandermonde, mais c'est bourrin
• une manière élégante consiste à observer le polynôme (degré, racines).

Question 2 :

Montrer qu'il existe un polynôme tel que la matrice associé à relativement à la base soit la matrice compagnon du polynôme

=> Alors là je ne sais pas du tout rédiger ce problème d'existence.

ZimbAbwé.

Tu as regardé quelle tête a la matrice ?

Taar.

[inviteb64a2f8e]

Merci beaucoup !

J'ai suivi les conseils que tu m'as donnés et je suis parvenu à la réponse !

Merci encore pour ta réponse !

ZimbAbwé.