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Aire d'un quadrilatère convexe



  1. #1
    tof06

    Aire d'un quadrilatère convexe

    Bonjour,
    Je cherche à démontrer la formule de calcul d'aire d'un quadrilatère convexe ABCD avec a l'un des deux angles formés par les diagonales [AC] et [BD] :
    1/2*AC*BD*sina

    -----

    Dernière modification par tof06 ; 19/12/2009 à 11h22.

  2. Publicité
  3. #2
    mécano41

    Re : Aire d'un quadrilatère convexe

    Bonjour,

    Une piste : par A et C, trace deux parallèles à DB et par D et B trace deux parallèles à AC. Calcule l'aire du parallélogramme formé par ces quatre droites...

    Cordialement

  4. #3
    tof06

    Re : Aire d'un quadrilatère convexe

    Merci Mécano, mais je ne vois pas comment trouver l'air du quadrilatère ABCD à partir de l'air ce parallélogramme..

  5. #4
    mécano41

    Re : Aire d'un quadrilatère convexe

    Ce parallélogramme, coupé par AC et BD forme 4 parallélogrammes qui ont un point commun O intersection de AC et BD.
    Chacun de ces parallélogrammes est coupé par une diagonale, par ex. AD. Si tu observes les deux triangles ainsi formés par cette diagonale, tu peux en déduire quelque chose...donc, que représente alors l'aire du triangle AOD par rapport à l'aire du parallélogramme?

    Comme c'est vrai pour chacun des 4 parallélogrammes, que représente l'aire de ABCD par rapport à l'aire du grand parallélogramme?

    Si tu ne comprends pas, dis-le, je ferai un croquis avec des lettres partout.

    Cordialement

  6. #5
    tof06

    Re : Aire d'un quadrilatère convexe

    Appelons E le quatrième point du parallélogramme formé par ces deux triangles,
    Aire(EAOD) = 2* Aire(AOD)
    Aire(EAOD) = 2* 1/2*OA*OD*sina
    Je trouve l'aire du triangle AOD = OA*OD*sina

    L'aire du grand parallélogramme vaut 2 fois l'aire de mon quadrilatère. Mais l'aire d'un parallélogramme est égale à base x hauteur. Or je ne connais ni la base, ni la hauteur, et dans ma formule à démontrer j'ai besoins des diagonales.
    Aire(Gr parallélogramme) = 2*Aire(ABCD)

    Pour le moment j'ai :
    Aire(ABCD) = OA*OD*sina + OD*OC*sin(pi/2-a) + OC*OB*sina + OB*OA*sin(pi/2-a)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mécano41

    Re : Aire d'un quadrilatère convexe

    Tu y es presque mais il n'est pas nécessaire de calculer l'aire de chaque triangle...tu as (je continue à nommer les autres sommets F, G et H :

    aire EAOD = 2.aire AOD
    aire FBOA = 2.aire AOB
    aireGCOB = 2.aire BOC
    aire HDOC = 2.aire COD

    Cela veut dire que l'aire du parallélogramme EFGH est double de l'aire de ABCD, mais ... si l'angle AOD = a par ex. l'angle FGH = a et l'aire de EFGH est FG.sin(a).HG mais FG=AC et HG=BD et cela donne bien :

    aire ABCD = [AC.BD.sin(a)]/2

    Cordialement

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  10. #7
    tof06

    Re : Aire d'un quadrilatère convexe

    Ah oui =D, Vu comme çà, ça parait tout de suite simple , Merci pour cette brillante démonstration :P

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