Espace vectoriel

invite52487760 · 18/12/2009, 11h36

Bonjour à tous :

Soit $\text{[math]}$ un anneau.
Soit $\text{[math]}$ une $\text{[math]}$ - algèbre.
Alors, par définition :
$\text{[math]}$ est anneau muni d'un homomorphisme d'anneau : $\text{[math]}$ .
Montrer que $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ - module !
Merci de votre aide !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 12h03

J'imagine que l'action va etre definie par $\text{[math]}$ . le fait que ca te donne bien une structure de A-module decoule trivialement des propriétés de la multiplication et du fait que $\text{[math]}$ est un morphisme d'anneau.

invite52487760 · 18/12/2009, 12h12

Bonjour Jobhertz :

Comment trouver un système generateur et libre à $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 12h20

Attention quand meme, ta definition est incomplete, si tu veux que la multiplication de B soit A-bilineaire (ce qui est la moindre des choses pour une algèbre

), il faut que l'image de $\text{[math]}$ soit incluse dans le centre de B.

Quant à ta 2e question, il n'y a pas a priori de raison que B soit un A-module libre

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invite52487760 · 18/12/2009, 16h31

Bonjour Jobhertz :
Merci pour tes reponses !

Est ce qu'il existe des $\text{[math]}$ module qui n'ont pas de bases, ou au moins il possède un système générateur mais qui n'est pas libre ?
Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 16h42

Non, par definition un K-module ou K est un corps c'est strictement la meme chose qu'un espace vectoriel. Hors, les espaces vectoriels ont toujours une base, cad qu'ils sont forcement libres en tant que modules.

invite52487760 · 18/12/2009, 16h52

Ok ! merci Jobhertz !

Comment calcule t - on les diviseurs de zero dans un anneau non intègre ? juste l'idée générale !

Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 16h54

Il n'y a pas d'idée generale, ca depend de l'anneau et de la facon dont tu le connais...

invite52487760 · 18/12/2009, 16h57

Par exemple celui là : $\text{[math]}$ !

il n'est pas intègre parceque : $\text{[math]}$

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 16h58

Celui là est intègre... $\text{[math]}$

invite52487760 · 18/12/2009, 17h01

Connais tu des exemples d'anneau non intègre ?

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 17h03

Il y a tous les Z/NZ pour N non premier. par exemple dans Z/6Z, 2*3=0.

invite52487760 · 18/12/2009, 17h05

Mmm..ouais ! mais j'aime pas des exemples avec les quotient !

j'aime qu'il soit des extenions de $\text{[math]}$ , ou de $\text{[math]}$ s'il y'en a !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 17h07

Euh, tu pousses un peu la, non ? Certes formellement ce sont des quotients, mais en pratique ca revient a calculer modulo N, on peut pas dire que ca soit compliqué non plus...

invite52487760 · 18/12/2009, 18h53

Ok ! merci bcp Jobhertz !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 19h00

Accesoirement, tout extension de Z ou Q est un sous anneau de C, donc sera integre sauf erreur.

invite52487760 · 18/12/2009, 19h09

Oui, c'est vrai ! merci !

J'ai une autre question à vous poser :
Soit $\text{[math]}$ un corps .
Existe - t - il $\text{[math]}$ une $\text{[math]}$ - algèbre non intègre ?
Merci d'avance !

invite52487760 · 18/12/2009, 19h20

Je viens de trouver comme exemple : $\text{[math]}$ qui est non commutatif et non intègre ! Est ce vrai ?
Est ce que celà signifie que $\text{[math]}$ est un anneau muni de l'homomorphisme d'anneaux $\text{[math]}$ par definition ?
Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 19h23

Ca me parait bien comme exemple, sauf que je ne vois pas ce qu'est la loi $\text{[math]}$ ??

Sinon effectivement, L(E) ou E est un K espace vectoriel est bien une algebre unitaire associative non integre sur K.

Et comme toujours dans ce cas la, le morphisme $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$

invite52487760 · 18/12/2009, 19h31

La loi $\text{[math]}$ est la multiplication des applications linéaires : $\text{[math]}$ mais pas la composition $\text{[math]}$ , il y'a une difference ! la multiplication est commutatif !
En fait c'est pas moi qui decouvre que $\text{[math]}$ est non intègre, mais je l'ai trouvé dans un article d'algèbre, mais je ne sais encore pas pourquoi celà est vrai ?
Pourquoi donc ce $\text{[math]}$ algèbre : $\text{[math]}$ est non intègre ?
Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 19h39

Sauf que la multiplication de deux applications linéaire ca n'existe pas

Et de toute facon dans une algebre il n'y a pas 2 multiplication ! Si tu as trouvé ca ailleurs, peut etre que $\text{[math]}$ fait reference a l'action de K sur L(E).

Quant a savoir pourquoi ca n'est pas integre, il suffit par definition de trouver deux applications lineaires non nulle dont la composée est nulle.. cad telles que l'image de l'une est incluse dans le noyau de l'autre.. et ca ca n'est pas tres difficile, essaie par exemple de prendre des applications dont le noyau est le plus grand possible...

invite52487760 · 18/12/2009, 19h50

Jobhertz, la multiplication n'existe pas parceque $\text{[math]}$ n'est pas stable par multiplication $\text{[math]}$ ? ( i.e : $\text{[math]}$ ?
Par contre, qu'est ce que tu sous entends par : "fait reference a l'action de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ", car je pense que l'action ici est la mutliplication par un scalaire de $\text{[math]}$ et non la multiplication de deux applications lineaires !
J'ai une autre question à te poser :
Est ce que $\text{[math]}$ est un corps commutatif contenu dans la $\text{[math]}$ algèbre $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 19h58

Envoyé par chentouf

Jobhertz, la multiplication n'existe pas parceque $\text{[math]}$ n'est pas stable par multiplication $\text{[math]}$ ? ( i.e : $\text{[math]}$ ?

non, la multiplication n'existe pas parce que je ne sais pas multiplier deux applications linéaires...

Par contre, qu'est ce que tu sous entends par : "fait reference a l'action de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ", car je pense que l'action ici est la mutliplication par un scalaire de $\text{[math]}$ et non la multiplication de deux applications lineaires !

Bah justement... ce que je veux dire c'est que le signe $\text{[math]}$ fait reference a cette action et pas a une hypothetique multiplication...

J'ai une autre question à te poser :
Est ce que $\text{[math]}$ est un corps commutatif contenu dans la $\text{[math]}$ algèbre $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance !

Oui, parce que $\text{[math]}$ est injective dans ce cas.

invite52487760 · 18/12/2009, 20h04

Jobhertz :

Je ne comprends pas bien la phrase suivante :

la multiplication n'existe pas parce que je ne sais pas multiplier deux applications linéaires...

Par exemple : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux applications linéaires et leurs produit et bien tout simplement :
$\text{[math]}$
Non ?

Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 20h08

Je sais bien mais ca donne quoi en dimension n ?

invite52487760 · 18/12/2009, 20h11

Jobhertz :

Soit $\text{[math]}$ un anneau commutatif unitaire.
On munit le $\text{[math]}$ - module des series formelles $\text{[math]}$ du produit ( de Hadamard ) :
$\text{[math]}$
Nous obtenons ( d'après un article sur le net ) une $\text{[math]}$ - algèbre , commutative, non intègre et à élément neutre $\text{[math]}$ qui est : $\text{[math]}$ .
Je voudrais savoir comment est défini $\text{[math]}$ dans ce cas ! et est ce que $\text{[math]}$ est un corps si $\text{[math]}$ était un corps ? Est ce que celà est possible ?

Merci d'avance !

invite52487760 · 18/12/2009, 20h12

Envoyé par jobherzt

Je sais bien mais ca donne quoi en dimension n ?

Ben, en dimension $\text{[math]}$ , je ne sais pas !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 20h13

Essaies de chercher un peu...

invite52487760 · 18/12/2009, 20h15

D'accord, et pour ces questions "Jobhertz", stp :

Soit $\text{[math]}$ un anneau commutatif unitaire.
On munit le $\text{[math]}$ - module des series formelles $\text{[math]}$ du produit ( de Hadamard ) :
$\text{[math]}$
Nous obtenons ( d'après un article sur le net ) une $\text{[math]}$ - algèbre , commutative, non intègre et à élément neutre $\text{[math]}$ qui est : $\text{[math]}$ .
Je voudrais savoir comment est défini $\text{[math]}$ dans ce cas ! et est ce que $\text{[math]}$ est un corps si $\text{[math]}$ était un corps ? Est ce que celà est possible ?

Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 20h15

Envoyé par chentouf

Ben, en dimension $\text{[math]}$ , je ne sais pas !

Moi non plus... et comme la dimension 1 a un interet plus que limité.. Si E est de dimension 1, L(E) est isomorphe a K.

Et meme dans ce cas remarque que le resultat de la multiplication n'est plus lineaire, il faut quand meme prendre la composition.

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