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invitebe0cd90e · 18/12/2009, 20h17

Envoyé par chentouf

D'accord, et pour ces questions "Jobhertz", stp :

Soit $\text{[math]}$ un anneau commutatif unitaire.
On munit le $\text{[math]}$ - module des series formelles $\text{[math]}$ du produit ( de Hadamard ) :
$\text{[math]}$
Nous obtenons ( d'après un article sur le net ) une $\text{[math]}$ - algèbre , commutative, non intègre et à élément neutre $\text{[math]}$ qui est : $\text{[math]}$ .
Je voudrais savoir comment est défini $\text{[math]}$ dans ce cas ! et est ce que $\text{[math]}$ est un corps si $\text{[math]}$ était un corps ? Est ce que celà est possible ?

Merci d'avance !

Merci, je sais lire, tu m'as posé la question il y a 3 minutes et 5 lignes plus haut.. Mais comme je te dis essaies de te debrouiller un peu par toi meme... Franchement ca n'est pas difficile !

invitecbade190 · 18/12/2009, 20h19

Ben la reponse est oui ! mais, je veux juste me rassurer car j'ai pas trop l'habitude de travailler avec les produits de Hadamard, en plus je ne sais pas ce qui se passe si $\text{[math]}$ est un corps, est ce que $\text{[math]}$ reste une $\text{[math]}$ algèbre ?
Ne t'enerve pas, c'est la dernière question !

Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 20h22

Je ne m'enerve pas, rassure toi

et oui, evidemment si c'est vrai pour les anneaux c'est vrai pour les corps, puisqu'un corps est un anneau particulier.

invitecbade190 · 18/12/2009, 20h25

Oui, mais tu m'a pas dit comme est defini dans ce cas ; $\text{[math]}$ !

Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 20h26

Suffit de regarder comment est definie l'action de A... Que penses tu de $\text{[math]}$ ?

invitecbade190 · 18/12/2009, 20h29

Ahhh oui, j'ai oublié l'élément neutre $\text{[math]}$

Un grand MERCI à Jobhertz ! je ne sais comment te remercier mon cher ami !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 20h33

Pas de soucis. N'oublie pas que dans les cas sympas, ou l'anneau A et l'algebre B sont unitaires, associatifs tout ca, le morphisme $\text{[math]}$ doit verifier $\text{[math]}$ . DOnc dans le cas ou tu connais l'action, et ou tu cherches le morphisme, alors tu as
$\text{[math]}$ .

invitecbade190 · 18/12/2009, 20h39

Oui, justement, c'est exactement ça ce qui me préoccupait il y'a quelques temps :

Qu'est ce qui se passe si $\text{[math]}$ verifie : $\text{[math]}$ ? ( $\text{[math]}$ est un corps là ) ?
Est ce que $\text{[math]}$ peut ne pas être injective , c'est à dire $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ ?
Est ce que dans ce cas là : $\text{[math]}$ est un corps ( $\text{[math]}$ est toujours un corps ) ?
Merci d'avance !

invitebe0cd90e · 18/12/2009, 20h54

Envoyé par chentouf

Oui, justement, c'est exactement ça ce qui me préoccupait il y'a quelques temps :

Qu'est ce qui se passe si $\text{[math]}$ verifie : $\text{[math]}$ ? ( $\text{[math]}$ est un corps là ) ?

Alors ca n'est pas un morphisme d'anneau, puisque on doit avoir $\text{[math]}$ .

Est ce que $\text{[math]}$ peut ne pas être injective , c'est à dire $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ ?

Oui, il n'y a rien qui l'interdit a priori. Exemple : $\text{[math]}$ est un Z-module, et meme une Z-algebre, et le morphisme est simplement la surjection canonique.

Est ce que dans ce cas là : $\text{[math]}$ est un corps ( $\text{[math]}$ est toujours un corps ) ?
Merci d'avance !

En fait il me semble qu'on a mieux : un morphisme d'anneau qui part d'un corps est necessairement injectif. EN effet, si x est non nul, f(x) est inversible et d'inverse $\text{[math]}$ , donc f(x) ne peut pas etre nul. Donc f injectif. Et en particulier, l'image d'un corps par un morphisme d'anneau est forcement encore un corps, isomorphe a celui de depart.

invitecbade190 · 19/12/2009, 12h53

Salut "Jobhertz" :

Merci pour ces precisions !

A propos de $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , il s'agit bien d'un morphisme d'anneaux, mais non unitaire d'après un prof. d'algèbre ! mais, je n'ai pas compris la suite, c'est à dire quant $\text{[math]}$ est un homomorphisme d'anneaux non unitaire et non injectif , avec $\text{[math]}$ un corps ! Est ce que $\text{[math]}$ est un corps dans $\text{[math]}$ ( i.e : si $\text{[math]}$ est un homomorphisme d'anneaux non unitaire, mais injectif, alors, $\text{[math]}$ est un corps dans $\text{[math]}$ , mais n'est pas un sous corps de $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ ne coincide pas avec l'élément neutre $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ ) Mais, le problème est quant $\text{[math]}$ avec ces conditions, mais non injectif, , Est ce que $\text{[math]}$ garde sa structure de corps dans $\text{[math]}$ ? si la réponse est négative, quelle est donc, la structure de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance !

invitecbade190 · 19/12/2009, 15h07

$\text{[math]}$ est un idéal du corps $\text{[math]}$ qui est soit $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ , et puisque $\text{[math]}$ est non injectif , $\text{[math]}$ , après qu'est ce qu'on déduit ?

On a biensûr : $\text{[math]}$ !

invitecbade190 · 19/12/2009, 17h59

Donc : $\text{[math]}$
i.e : $\text{[math]}$
i.e : $\text{[math]}$
i.e : $\text{[math]}$

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