espace vectoriel

[invite69d45bb4]

bonjour à tous .

peut on representer certains espaces vectoriels par un plan dans l'espace ?

peut ont representer geometriquement un espace vectoriel normé?

merci par avance pour vos reponses.
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[KerLannais]

Salut,

On représente les espaces vectoriels réels de dimension 2 comme des plans (parce qu'ils sont isomorphes au plan). Parfois on représente aussi les hyperplans d'un espace vectoriel réel quelconque (de dimension finie ou non) comme un plan, l'espace lui même est alors vu comme s'il était de dimension 3. C'est une fausse représentation qui à priori ne correspond à rien (en fait si ça doit correspondre à une projection sur un espace en 3 dimensions) puisque on ne peut pas représenter des espaces de dimension supérieure ou égale à 4. Cela dit, ce genre de représentation, même si elle est fausse, aide à réfléchir, elle sert de base à l'intuition et pas au raisonnement (de toute façon un dessin ne démontre rien). Le fait qu'un espace soit normé ou pas ne change absolument rien à cette représentation. On peut également utiliser ce genre de représentation pour des espaces vectoriels complexes, mais là encore ce n'est qu'un aide à l'intuition, ça n'a rien de rigoureux. Les espaces vectoriels réels de dimensions finies sont naturellement des espaces vectoriels normés et toutes les normes qu'on peut mettre sur un espace sont équivalentes. Il en va de même des espaces vectoriels complexes de dimension finie. Il est très difficile de se représenter un espace vectoriel de dimention infinie qui ne peut pas être normé ou du moins des espaces vectoriels réels topologiques dont la topologie ne peut être induite par une norme. On a des exemples simples en théorie des distributions, on tombe sur des espaces fonctionnels qui sont des espaces de Frechet qui ne sont pas des espaces de Banach, l'argument étant que, ce sont des espaces dont la topologie admet des voisinages qui peuvent contenir tous les dilatés d'un élément non nul, ce qui est strictement impossible quand la topologie est donnée pa une norme.

[invite69d45bb4]

je ne comprends pas pourquoi les espaces vectoriels reels de dimension 2 sont isomorphes au plan.

peut tu m'expliquer?

[KerLannais]

Soit un espace vectoriel réel de dimension 2. Alors on peut choisir une base à deux éléments qu'on note:

On va construire un isomorphisme entre et . On définit simplement:


Il est facile de vérifier que est linéaire, c'est un isomorphisme parqu'il envoie une base sur une base. Comme en dimension finie toutes les normes sont équivalentes on a aussi le fait que et son inverse sont continus.

[A voir en vidéo sur Futura]