probleme chaine de Markov (probas)

[invite67614aac]

Bonjour tout le monde !
Je bloque sur un exercice de probas qui me pose de sérieux problèmes. Voici l'énoncé :
Processus de Branchement. Pour tout n ∈ N soient ()i∈N des suites mutuellement indépendantes de variables aléatoires identiquement distribuées, à valeurs dans N.
On définit le processus (Zn )n∈N par, Z0 = 1, et pour tout n ≥ 0 si Zn > 0 alors Zn =
sinon Zn+1 = 0.
Montrer que Zn est une chaine de Markov.

J'ai essayé avec la définition d'une chaine de Markov et aussi avec une définition algorithmique équivalente aux chaines de Markov : Xn+1 = F (Xn , Un+1 ) où F est une fonction à valeurs dans N et (Ui)i est une suite indépendante et identiquement distribuées de v.a. de loi uniforme sur [0, 1]. Mais je bloque complétement...
Quelqu'un aurait une idée ?

Merci beaucoup d'avance !
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[Romain-des-Bois]

Bonjour,

je ne sais pas si tu as bien compris ce qu'est un processus de branchement. Quand on a compris, il est immédiat de voir que c'est markovien.

Petit rappel :

désigne le nombre d'individus de la génération ,
on part d'un unique ancêtre : . On note le nombre de descendants de cet ancêtre, ainsi :


Chacun de ces descendants donne naissance à un certain nombre d'individus : le descendant donne naissance à individus.

Ainsi :

And so on...



Pour ne pas s'embêter avec le cas où la population disparait, on prend la convention :

Structure de chaîne de Markov :

Travaillons conditionnellement à , ... , .
Les variables aléatoires pour sont i.i.d. donc la loi de ne dépend que de .
D'où le caractère markovien.

Voilà.

(Au passage, ce type de processus est aussi appelé processus de Galton-Watson (asexué) - un seul type d'individus)

[invite67614aac]

Les variables aléatoires pour sont i.i.d. donc la loi de ne dépend que de .
D'où le caractère markovien.

J'avais également fait ce raisonnement là mais il me semble qu'il manque une étape entre :

Les variables aléatoires pour sont i.i.d.

et :

donc la loi de ne dépend que de .
D'où le caractère markovien.

Je me demande si cela est suffisant. Est-on vraiment sûr que de ce fait ne dépend pas de ???

[Romain-des-Bois]

Ca ne te semble pas évident ?

Peut-être ceci t'en convaincra.

Je note la loi du -uplet . On est d'accord, cette loi ne dépend que de par le caractère i.i.d. de la suite .

Alors :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite67614aac]

Mmh oui je pense avoir compris..! Merci pour votre aide ! Une dernière chose juste pour être sûr :
Qu'entendez-vous par :

?
Merci.

[Romain-des-Bois]

Dans le cas où on a deux v.a. ça se voit mieux :

où et sont discrètes.



C'est juste ça.

EDIT :
J'en profite pour rajouter ceci : de la preuve du caractère markovien, on déduit très facilement le caractère homogène de la chaîne.

[invite67614aac]

Merci en tout cas !