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probleme chaine de Markov (probas)



  1. #1
    titiii-math

    probleme chaine de Markov (probas)


    ------

    Bonjour tout le monde !
    Je bloque sur un exercice de probas qui me pose de sérieux problèmes. Voici l'énoncé :
    Processus de Branchement. Pour tout n ∈ N soient ()i∈N des suites mutuellement indépendantes de variables aléatoires identiquement distribuées, à valeurs dans N.
    On définit le processus (Zn )n∈N par, Z0 = 1, et pour tout n ≥ 0 si Zn > 0 alors Zn =
    sinon Zn+1 = 0.
    Montrer que Zn est une chaine de Markov.

    J'ai essayé avec la définition d'une chaine de Markov et aussi avec une définition algorithmique équivalente aux chaines de Markov : Xn+1 = F (Xn , Un+1 ) où F est une fonction à valeurs dans N et (Ui)i est une suite indépendante et identiquement distribuées de v.a. de loi uniforme sur [0, 1]. Mais je bloque complétement...
    Quelqu'un aurait une idée ?

    Merci beaucoup d'avance !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Romain-des-Bois

    Re : probleme chaine de Markov (probas)

    Bonjour,

    je ne sais pas si tu as bien compris ce qu'est un processus de branchement. Quand on a compris, il est immédiat de voir que c'est markovien.

    Petit rappel :

    désigne le nombre d'individus de la génération ,
    on part d'un unique ancêtre : . On note le nombre de descendants de cet ancêtre, ainsi :


    Chacun de ces descendants donne naissance à un certain nombre d'individus : le descendant donne naissance à individus.

    Ainsi :

    And so on...



    Pour ne pas s'embêter avec le cas où la population disparait, on prend la convention :

    Structure de chaîne de Markov :

    Travaillons conditionnellement à , ... , .
    Les variables aléatoires pour sont i.i.d. donc la loi de ne dépend que de .
    D'où le caractère markovien.

    Voilà.

    (Au passage, ce type de processus est aussi appelé processus de Galton-Watson (asexué) - un seul type d'individus)

  4. #3
    titiii-math

    Re : probleme chaine de Markov (probas)

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Les variables aléatoires pour sont i.i.d. donc la loi de ne dépend que de .
    D'où le caractère markovien.
    J'avais également fait ce raisonnement là mais il me semble qu'il manque une étape entre :
    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Les variables aléatoires pour sont i.i.d.
    et :
    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    donc la loi de ne dépend que de .
    D'où le caractère markovien.
    Je me demande si cela est suffisant. Est-on vraiment sûr que de ce fait ne dépend pas de ???

  5. #4
    Romain-des-Bois

    Re : probleme chaine de Markov (probas)

    Ca ne te semble pas évident ?

    Peut-être ceci t'en convaincra.

    Je note la loi du -uplet . On est d'accord, cette loi ne dépend que de par le caractère i.i.d. de la suite .

    Alors :


  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    titiii-math

    Re : probleme chaine de Markov (probas)

    Mmh oui je pense avoir compris..! Merci pour votre aide ! Une dernière chose juste pour être sûr :
    Qu'entendez-vous par :

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    ?
    Merci.

  8. #6
    Romain-des-Bois

    Re : probleme chaine de Markov (probas)

    Dans le cas où on a deux v.a. ça se voit mieux :

    et sont discrètes.



    C'est juste ça.

    EDIT :
    J'en profite pour rajouter ceci : de la preuve du caractère markovien, on déduit très facilement le caractère homogène de la chaîne.

  9. Publicité
  10. #7
    titiii-math

    Re : probleme chaine de Markov (probas)

    Merci en tout cas !

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