chaine de Markov

invited9d78a37 · 03/06/2009, 08h33

bonjour

on modélise le saut de puce entre deux chiens.
Soit 2R le nombre total de puces, NA et NB , le nombre de puces sur le chien A et B.
SOit $k=\frac{NA-Nb}{2}$ et les puces sont initialement sur le chien A.

j'ai calculé la probabilité d'avoir k après s itérations P(k,s)

$P(k,s)=\frac{R+k+1}{2R}P(k+1,s-1)+\frac{R-k+1}{2R}P(k-1,s-1)$

maintenant il faut que je montre que:

$<k(s)>=\sum _k k P(k,s)=\left( 1-\frac{1}{R} \right)^s <k(0)>$

et la je n'arrive pas à trouver la bonne astuce pour montrer que $<k(s)>=\left( 1-\frac{1}{R} \right) <k(s-1)>$

merci d'avance

invite0fb72cf8 · 03/06/2009, 09h50

Salut,

Je n'ai pas fait super gaffe aux conditions aux frontières: je suis pas certain que ton équation maitresse soit valable quand k = R, mais peu importe. En gros, je réécris l'équation maitresse sous la forme suivante:

$P(k,s)=\frac{R+1}{2R} (P(k+1,s-1) ) +P(k-1,s-1) ) + \frac{k}{2R} ((P(k+1,s-1) ) -P(k-1,s-1) )$
Ensuite, de par la définition de <k(s)>:

$<k(s)>=\sum _k k \frac{R+1}{2R} (P(k+1,s-1) ) +P(k-1,s-1) ) + \sum _k \frac{k^2}{2R} ((P(k+1,s-1) -P(k-1,s-1) )$
Pour le premier terme, je reprend la définition de <k(s)>. Pour le second, je sépare le terme en k+1 de celui en k-1, et je fait un changement de variable pour retomber sur P(k,s-1):
$= \frac{R+1}{2R} 2 <k(s-1)> + \sum _k \frac{(k-1)^2}{2R} P(k,s-1) - \sum _k \frac{(k+1)^2}{2R} P(k,s-1)$
Ensuite, je distribue le carré, et je tombe sur la formule suivante:
$= \frac{R+1}{R} <k(s-1)> + \frac{1}{2R} ( <k^2(s-1)> - 2 <k(s-1)> + 1) - \frac{1}{2R} ( <k^2(s-1)> + 2 <k(s-1)> + 1)$
Y'a pas mal de termes qui se simplifient, et au final:
$= (1+\frac{1}{R} -\frac{2}{R}) <k(s-1)> = (1-\frac{1}{R} ) <k(s-1)>$

CQFD

invited9d78a37 · 03/06/2009, 12h38

Envoyé par Ising

Salut,

Je n'ai pas fait super gaffe aux conditions aux frontières: je suis pas certain que ton équation maitresse soit valable quand k = R

ni quand k=0 mais bon

merci beaucoup, j'ai commencé a détailler la somme avec les bornes and co et je ne m'y retrouvait plus

merci encore

invite0fb72cf8 · 03/06/2009, 13h25

Envoyé par chwebij

ni quand k=0 mais bon

Je peux me tromper, mais j'ai l'impression que k va varier de -R à +R...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invited9d78a37 · 03/06/2009, 20h15

oui, effectivement!!

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