bonjour,
j'ai encore un problème sur une chaine de Markov: on considere E={1,....N} et Uk une suite de var iid a valeurs dans E de loi uniforme sur E
on pose Xo=0 et n>=1 Xn=Card{U1,.....,Un}
je voudrais montrer que Xn est une chaine de Markov et trouver la proba de transition ;
Mais cette fonction me gène même si je pense qu'il faut utiliser un argument style Xn=f(Un) les Un etant independantes id
merci pour toute indication
Salut, peut-être j'ai dit des bétises sur l'autre topic, mais je reviens quand même te répondre !
Ici je ne comprends pas la définition : X_n = Card{U_1,...U_n}, on dirait que ue X_n est toujours égal à n.
salut,
c'est bien la mon probleme, je n'arrive déja pas à identifier l'espace des etats ...et à comprendre ce que fait cette chaine
j'ai omis de préciser qu'on considère la filtration engendrée par les Uk 1<=k<=n
C'est étrange, on dirait vraiment que X_n fait n puisque c'est le cardinal d'un ensemble à n éléments. Du coup il n'y a plus d'aléatoires et c'est clairement une chaine de Markov.
Mais l'utilité est restreinte ! Tu es sur de la définition de X_n ?
oui je confirme bien X_n=Card {U_1,....,U_n}
ce qui est bizarre , c'est ce qu'il y a dans cet ensemble...
J'ai posé la question sur un autre forum et j'ai eu une réponse que je peine à comprendre:
P(X_n+1=X_n|(X_1,....X_n))=X_n/N
P(X_n+1=X_n+1|(X_1,....X_n))= 1- X_n/N
je ne vois pas trop d'ou ça sort mais il semble que la matrice transition soit
P(i,i)=i/N
P(i,i+1)=1-i/N
P(N,N)=1
mais je ne vois pas d'ou sort les lignes au dessus ???
Ah oui ça y est j'ai compris !!
C'est à cause de la distinction entre ensemble et liste !
Je m'explique, pour fixer les idées disons N=5.
Je prends 6 réalisations des U et un omega qui fait que
U_1 = 2
U_2 = 3
U_3 = 1
U_4 = 5
U_5 = 4
U_6 = 1
par exemple.
Alors X_6 = Card{2,3,1,5,8,1} = Card{2,3,1,5,8} = 5
Et non pas 6 comme on l'attendait.
BRef, si il y a de répétitions dans les U, le cardinal peut être plus petit que n.
Du coupne peut valoir que
Le première ligne vient du fait que
La deuxième ligne se déduit de la première.
Cette loi est clairement dépendante seulement de X_n et X est donc bien une chaine de Markov.
En espérant être clair.
merci Guyem
c'est bon, j'ai compris l'histoire des répétitions...interessant pour comprendre ce qu'est une chaine de markov : ce qui se passe à l'instant n+1 ne dépend que de ce qui se passe à l'instant n !!
sinon après il ya les questions de classification des états et le comportement asymptotique de la chaine
je pense que N est recurrent car absorbant et que les autres etats sont transitoires.
je vais réflchérir au comportement asymptotique...
amicalement
jameso
Je dirais aussi que N est récurrent et que les autres sont transients (transient c'est un peu comme transitoire mais dans le cas espace d'état infini, tu connais ce terme ?)
Pour le comportement asymptotique, je mets ma main à couper que P(lim X_n = N) = 1
je connais les deux mais j'utilise l'un ou l'autre , à tort peut-être...
sinon toujours ces histoires de comportement asymptotique qui me posent problèmes
je pense que tu as raison en disant que Xn converge Px presque surement vers N
je vois bien que c'est N la seule limite possible car les autres points etant transi.... la chaine ne les visite qu'un nombre fini de fois et il ne peuvent donc pas être val adhérence de la suite
Mais concernant la cv ps , je sais qu'on utilise souvent un argument avec les martingales : si une fonction f positive (ou bornée) est Pharmonique (ou invariante ie Pf=f) la f(Xn) est martingale bornée ou positive qui converge donc ps
ici une CNS pour être P-harmonique est f(k+1)=f(k) je pense
mais le problème est de pouvoir revenir à Xn...
amicalement
jameso
Salut, pour la terminologie, dans le livre que j'ai lu transitoire est reservé aux chaines à espace d'état fini, transient à celles à espaces d'états infini. Ici puisque l'espace d'états s'avèrent être {1,...,N}, transitoire ma parait approprié.
Pour la convergence il ne me semble pas que ce soit la peine de se casser la tête. A omega fixé, la suite X_n(omega) est clairement croissante, majorée par N. Elle converge (stagne) donc vers une limite <= N, reste à montrer que cette limite est effectivement N pour presque tout omega, ce qui doit se déduire des propriétés des U.
C'est quand même bizarre ton histoire, transitoire et transient ça signifie la même chose, l'un en français, l'autre en anglais.
Tu es sûr qu'on leur attribue un sens différent dans ce cas ?
Peut-être je dis des bétises !
Je me fie à la seule lecture que j'ai faite sur le sujet : Paul S Toulouse, thèmes de probas et de stats pour l'agrégation.
Ce monsieur y définit un état dit transitoire pour une chaine à espace d'état fini et il dit transient dans le cas infini.
