convergence chaine de Markov

[invitefa636c3d]

re-bonjour

j'ai une autre question qui me tracasse sur les markov:

voila on considère 0<p<1 et P sur N définie par
i)P(0,0)=1
ii) pour k>=1 P(k,.) est la loi binomiale de parametre 2k et p

on designe par Xn la chaine de markov canonique

j'ai commencé par classifier les états: je pense que 0 est recurrent car absorbant et que tous les autres sont transitoires (k--->0 mais 0 ne mène pas à k)

mais après on me demande de montrer que Xn admet Px presque surement une limite Z dans {0,oo}
c'est ça que je n'arrive pas à faire

souvent on montre que I est P-harmonique mais ici on voit dans la suite de l'exo que I est P-harmonique ssi p=1/2
sans cette condition ,je ne vois pas comment m'y prendre

merci
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je ne suis pas un probabiliste, et je ne sais pas ce qu'est un *blurg* P-harmonique.

Par contre, montrer que Xn converge Px sûrement, ça doit être faisable.
Ca veut juste dire qu'en partant de x, et en suivant la loi d'évolution de la chaîne markov, tu arrives forcément en zéro à la limite (au moins sauf sur un ensemble de mesure nulle). Tu as donc juste à mettre en forme l'idée que tu te fais de cette chaîne de Markov...

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rvz, bon courage

[invitedf667161]

Salut

Je suis d'accord avec ta classification, on dit plustôt transient dans le cas des chaines de Markov à espaces d'états dénombrables.

Pour ton problème il me semble qu'il suffit de montrer que la probabilité que la chaine stationne à un état k>=1 à partir d'un certain rang converge vers 0 avec k.
Cela est assez facile à partir du moment où on a écrit que

et qu'on sait se servir de Stirling

EDIT : pour rvz, on n'arrivera pas presque surement à zéro, on peut aussi partir à l'infini, c'est pour ça que Z est à valeurs dans {0,oo}

EDIT : pour jameso, tu entends quoi par P-harmonique ? et par I aussi ? Serait-ce un truc qui pourrait s'écrire dans le cas fini comme I*P = I ?

[invitefa636c3d]

merci à tous les deux, je vais regarder ça

une fonction f est P-harmonique si Pf=f et j'ai posé I pour l'identité de N
on peut aussi dire invariante au lieu de harmonique je crois


amicalement
jameso

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

je trouve que p(k,k) est equivalent à un truc qui tend bien vers zéro;
cela suffit-il pour conclure? ne faut-il pas considérer P^n(k,k) ?

jameso

[invitedf667161]

Euh, tu me mets le doute là ...

J'ai l'impression que ta chaine, étant à valeurs entières, si elle converge vers quelque chose, elle est constante égale à ce quelque chose à partir d'un certain rang.

J'ai donc dit une bétise, il faut bien regarder la limite en n de P^n(k,k). Si tu montres que celle ci est nulle pour tout k>=1, alors tu auras le résultat.

[invitedf667161]

Avec plus de précisions, la probabilité que X_n converge vers un certain cas k est :



Elle est majorée par . Chaque terme de la somme vaut :