algébre et geometrie coucours sup mines2004

[invite34c9857f]

j'ai trouvé ce problème extrait du coucours des mines sup 2004 j'ai le corrigé mais je ne le comprend pas pouvez vous me les expliquer merci d'avance
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ps:v→ signifie vecteur v

voici l'enoncé (que l'on peut retrouver sur le site www.mines.net rubrique document a telecharger):

Soient I et J les matrices définies par : I = [100,010,001]
et J =[010,001,100](enoncés en lignes) .

→E désigne l’espace vectoriel usuel orienté muni d’une base orthonormée directe . B=(ii→,j→,k→)

Soit : f l’endomorphisme de →E défini par sa matrice J relativement à la base B et u→=1/(3^1/2)(i→+j→+k→)

1. Calculer f (u) et prouver que le plan Q d’équation : x + y + z = 0 est stable par f (c’est-à-dire que l’image par f de tout vecteur de Q appartient à Q).

2. On pose v→=i→+1/2(-j→-k→) et w→=u→vectoriel v→.

a) Vérifier que (v→,w→) est une base du plan Q.
b) (u→,v→,w→) est-elle une base orthonormée directe →E ?
c) Trouver un réel θ tel que f(v→)=cos(θ)v→+sin(θ)w→ et f(w→)=-sin(θ)v→+cos(θ)w→.
d) Que pensez vous de la nature géométrique de la restriction de f à Q ?


voici le corrigé:

1. f (u→) =u →et si t→=xi→+yj→+zk→ alors f(t→)=yi→+zj→+xk→
Si t→ appartient au plan d’équation x + y + z = 0, il en est de même de f(t→)

2.
a) Q est l’ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur u→;v→ en fait partie car u→.v→ = 0 et w→ également par définition. De plus v→ et w→ ne sont pas colinéaires donc (v→,w→) est une base de Q.

b) (u→,v→,w→) est une base orthogonale directe de E→ mais pas normée car norme de (v→)=normede (w→)=(3/2)^1/2

c) Précisons d’abord : w→=(3^1/2)/2(j→-k→).
Alors f(v→)=1/2v→-(3^1/2)/2 et f(w→)=-(3^1/2)/2v→-1/2w→ d’où θ = 4pi/3 [2pi]

d) La restriction de f à Q ( orienté par la base (v→,w→) ) est la rotation d’angle 4pi/3

merci
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Tu peux détailler ce que tu ne comprends pas ? Je ne vois là qu'un sujet et un corrigé, il me semble ...

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rvz

[GuYem]

Salut,

Tu peux détailler ce que tu ne comprends pas ? Je ne vois là qu'un sujet et un corrigé, il me semble ...

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rvz qui n'a rien trouvé d'intéressant à signer pour une fois

Il me semble aussi

[invite6b1e2c2e]

...

Meuh ! Y a des gens qui parodient mes signatures

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rvz, piraté par un Guyem

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34c9857f]

pas de probleme
tous d'abors dans la question 1 :
comment trouvent-ils f(u) (je vois pas trop comment ils trouvent une expression de f(u) a partir de la matrice J de du vecteur u) et pourqoi ils introduisent t ?

dans la question 2 b):
pourquoi la norme de v=w=(3/2)^1/2

merci

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Tout d'abord, f est par définition donnée par la matrice J. Donc le calcul de f(u) ne devrait pas te poser de problème.
Ensuite, ils se demandent si, étant donné v dans le plan d'équation *bidule*, on a f(v) dans le même plan. C'est-à-dire qu'ils se demandent si ce plan est invariant par l'action de f. Pour faire le calcul explicite, tu prends v = (x,y,z) satisfaisant l'équation du plan, tu calcules f(v) = (x',y',z'), et tu regardes si (x',y',z') satisfait l'équation du plan.

Pour calculer une norme d'un vecteur, relis ton cours !
||(x,y,z)||^2 = x^2+y^2+z^2...
Cette formule devrait t'être familière....

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rvz

[invite34c9857f]

j'ai enfin compris
merci beaucoup