Espace vectoriel ?

[invite0da21158]

Bonjour !
Voilà j'ai un exercice de mathématiques à faire sur les espaces vectoriels et j'ai beaucoup de mal.
Voici l'énoncé:

"Dans R^2, on définit les opérations suivantes :
(x,y) + (x',y') = (x + x', y+y') et alpha(x,y) = (alpha*x,0)
L'ensemble R^2 muni de ces opérations est-il un espace vectoirel?"

Nous avons vu dans le cours que pour montrer qu'une application est un espace vectoriel, il fallait montrer un ensemble de propriétés:
1. Pour tout u,v,w appartenant à E u+(v+w) = (u+v) +w
2. Pour tout u,v appartenant à E u+v = v+u
3. Il existe un élément 0 de E tel que u + 0 = u
4. A tout u appartenant à E il est associé un élément u' appartenant à E tel que u+u' = 0
5.Pour tout u,v appartenant à E et tout alpha appartenant à R, alpha*(u+v) = (alpha*u) + (alpha*v)
6.Pour tout u appartenant à E et tout alpha et beta appartenant à R, (alpha + beta)*u = (alpha*u) + (beta*u)
7. Pour tout u appartenant à E et tout alpha et beta appartenant à R, (alpha*beta)*u = alpha*(beta*u)
8. Pour tout u appartenant à E, 1u=u

On est vraiment obligé de démontrer toutes ces propriétés?
Si oui, comment faut-il faire?

Voici ce que j'ai essayé de faire :

1. Soit x1,y1,x1' et y1' tel que (x1, y1) + (x1',y1') = (x1+x1',y1+y1') et alpha*(x1;y1) = (alpha*x1,0)
Soit x2, y2, x2' et y2' tel que (x2,y2) + (x2',y2') = (x2 + x2', y2 + y2') et alpha (x2', y2') = (alpha*x2,0)
Soit x3, y3, x3' et y3' tel que (x3,y3) + (x3',y3') = (x3 + x3', y3 + y3') et alpha (x3', y3') = (alpha*x3,0)

alors : u+(v+w) =
(x1,y1)+(x1',y1') + [(x2,y2)+(x2',y2') + (x3,y3)+(x3',y3')]
= (x1+x1',y1+y1') + [(x2+x2'+x3+x3',y2+y2'+y3+y3')]
= (x1+x1'+x2+x2'+x3+x3',y1+y1'+y 2+y2'+y3+y3')
= [(x1+x1'+x2+x2',y1+y1'+y2+y2')] + (x3+x3',y3+y3')
=[(x1,y1)+(x1',y1') + (x2,y2) + (x2',y2')] + (x3,y3) + (x3',y3')

ce qui donne (u+v)+w

C'est comme ça qu'il faut faire?
Merci d'avance pour votre aide !
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[invitebb921944]

Bonjour.
Une application n'est pas un espace vectoriel comme tu l'as écrit. Un espace vectoriel, c'est un ensemble d'objets (qu'on appelle des vecteurs) qu'on munit d'opérations qui permettent par exemple d'ajouter ces vecteurs entre eux où de les multiplier par un scalaire.
Par exemple, le R-espace vectoriel (R²,+,.) (le classique) est assez simple à imaginer.
Prends une feuille, trace un axe des abscisses et un axe des ordonnées. Tu as alors l'espace R² tout simple que tu connais bien. Maintenant, si tu dessines deux vecteurs dans cet espace (dans le plan en fait), je suis sur que tu sais sommer ces deux vecteurs en utilisant la relation de Chasles. Je suis sur aussi que tu sais "allonger" un des deux vecteurs en le multipliant par un réel (un scalaire). Tu croyais faire un truc facile, et bien c'est toujours aussi facile, sauf que pour "théoriser" un peu tout ça, on donne un nom à cet ensemble de vecteurs que l'on peut "sommer" entre eux et multiplier par un scalaire : un espace vectoriel.
Maintenant, tu vas me dire : "à quoi ça sert ?"
Et bien plutôt que d'étudier pendant 107 ans les propriétés de cet espace que tu as formé en tracant ton abscisse et ton ordonnée sur une feuille auquel tu as ajouté la relation de chasles et la multiplication par un réel, on va faire l'étude dans le cas général. En gros on définit un espace vectoriel dans le cas général, on l'étudie et on en déduit un grand nombre de propriétés. Ainsi, le jour ou ton prof te donne un ensemble muni de deux lois, si tu parviens à vérifier que c'est un espace vectoriel sur un corps K, tu pourras directement utiliser toutes les propriétés de ton cours. C'est pas beau la vie ?

Maintenant, il y a deux facons de montrer qu'un tel ensemble est un espace vectoriel. Soit on montre que c'est un espace vectoriel à partir de la définition (ce qui est long et ennuyeux mais que tu dois absolument savoir faire), soit on montre que c'est un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel connu (ca c'est très rapide et tu utiliseras toujours cette méthode plus tard). Donc ne t'inquiète pas, ton prof t'embêtera une ou deux fois à faire cette longue démo mais plus tard, tu pourras démontrer ça en quelques lignes.

1. Soit x1,y1,x1' et y1' tel que (x1, y1) + (x1',y1') = (x1+x1',y1+y1') et alpha*(x1;y1) = (alpha*x1,0)
Soit x2, y2, x2' et y2' tel que (x2,y2) + (x2',y2') = (x2 + x2', y2 + y2') et alpha (x2', y2') = (alpha*x2,0)
Soit x3, y3, x3' et y3' tel que (x3,y3) + (x3',y3') = (x3 + x3', y3 + y3') et alpha (x3', y3') = (alpha*x3,0)

Pas besoin d'écrire tout ça.
Soient u=(u1,u2), v=(v1,v2) et w=(w1,w2) des vecteurs de E.
Tu peux ensuite faire ce que tu as fait, c'est tout à fait juste.
Pour la petite info, ton espace vectoriel n'en est pas un et tu le verras lorsque tu voudras vérifier la dernière propriété mais je te conseille quand même de vérifier toutes les autres, il faut savoir le faire.
Bonne chance !