je suis en train d'essayer de comprendre comment intégrer une Gaussienne mais j'ai un problème je bute sur le passage de l'étape 5 à 6 lorsque l'on passe en coordonnées polaires.
J'ai besoin de vos lumières.
http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html
quelqu'un pourrait il me décrire de manière un peu plus détaillée ce qu'il se passe entre l'étape 5 et 6 ?
Un changement de variable est effectué, tu peux trouver une explication dans cet article...
je comprends la nécessité du changement de variable, mais je ne comprends comment on trouve un tel résultat en passant en polaire.
Qu'est-ce qui te choque ?
et bien je ne comprends pas comment on trouve par le calcul le :
à la fin de l'intégrale.
Car si l'on pose
En calculant
Tu fais un changement de variable dans une intégrale multiple, ça ne se passe donc pas du tout comme lorsque l'on fait un changement de variable dans une intégrale simple. Il ne suffit pas de remplacer
Physiquement, ça a une très jolie interprétation : l'élément de surface infinitésimal en polaire est r.dr.dtheta.
coucouc, je viens de rentrer, effectivement Higgins après avoir relu le lien wikipédia je pense avoir compris comment on effectue le passage en coordonnées polaires pour une intégrale multiple.
Il faut utiliser la matrice Jacobienne pour ensuite transposer le jacobien dans la nouvelle intégrale.
Mon erreur venait du fait que le changement de variable que je tentais d'appliquer ne marche que sur intégrale simple.
Par contre si je sais utiliser désormais la formule, je ne la comprends pas pour autant, c'est peut être aussi dû à l'heure tardive
je verrais ça demain.
Merci à vous.
Bon j'ai passé le cap du double changement de variable en ayant utilisé la matrice jacobienne où j'ai bêtement appliqué la formule sans rien y comprendre...
Bref tout se passait bien jusqu'à ce que je bute sur un autre souci.
je m'explique dans l'intégrale ci-dessus, comment obtiens t'on ceci ? :
alors que l'on à ceci après le changement de variables :
Donc comment passe t'on de (1) à (2) ?
où :
Depuis quand e-x²×e-y² donne-t-il e-(x+y)² ?
ah oui effectivement !!!
je m'y suis pris à l'envers, tout colle alors du coup merci.
Personne pour m'expliquer la raison de la matrice jacobienne ?
Pourquoi la primitive suivante :
n'est elle pas tout simplement égale à :
Dérive pour voir !
Oui effectivement
"Personne pour m'expliquer la raison de la matrice jacobienne ? " >>> si tu veux une preuve rigoureuse, je peut essayer de te trouver des références la dessus, mais ca sera peut-etre un peu plus compliqué que ce que tu cherche...
Moralement c'est parceque on veut etudier l'image dun volume infinitésimal "dxdy" par l'application f. au voisinage d'un point (x,y) l'application f peut etre vu comme une application lineaire dont la matrice est la matrice Jabobienne de f en (x,y) (c'est la version multidimensionelle de l'approcimation affine...). Or tu doit savoir que si tu as un ensemble E dont le volume est V, et si g est une application lineaire, alors le volume de g(E) est |det g|.V. c'est pour cela que le déterminant de la jacobienne apparait quand on fais le changement de variable...
sinon la methode de faire le calcule à la main comme pour les intégrales simple marche aussi, mais il faut alors voir le "dx.dy" n'on pas comme une multiplication, mais comme un produit extérieur (qu'on note en géneral avec le meme symbole que le produit vectorielle) et qui à la propriété d'etre anti-symétrique (c'est a dire que dx ^ dy =-dy ^ dx et donc dx ^ dx =0... si tu refait le calcule avec ces conventions tu retrouvera que dx^dy=r.dr^dtheta ... mais la pour expliquer pourquoi va falloir faire beaucoup plus de géométrie différentielle ^^)
