bizarre comme solution d'exercice

[invite0f6f1e2d]

salut les amis ,
j'ai tombé ,dans un livre d'exercices d'analyse, sur une solution bizarre pour un problème.
voici l'énoncé :
soit f une application croissante de R dans R .
sachant que l'image d'un rationnel par f est le même rationnel ; montrer que :
f= identité _R


la solution a été publié comme suit :

on note par E(x) : la partie entière de x


pour x ∈ R et n ∈ N :


( E(nx) /n) ≤ x < ( (E(nx) + 1) / n )



comme f est croissante :




f(E(nx) / n ) ≤ f(x ) < f( (E(nx) + 1) / n )






puis



( E(nx) /n) ≤ f(x) < ( (E(nx) + 1) / n )



" jusqu'à là , tout est bon . mais à partir de ce ligne je ne comprends rien...???"




à la limite , quand n tend vers +∞ , on obtient

x ≤ f(x) ≤ x

"donc , selon ce que je comprends: x ≤ f(x) ≤ x n'est valable qu'au +∞ . mais l'exercice conclue que "


∀ x ∈ R ; f(x)=x .
alors f(x) =identité_R


s'il vous plaît aidez moi à comprendre cet exercice.
merci d'avance pou votre aide.
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[invite7ffe9b6a]

Salut, je ne suis pas super à l'aise avec les parties entières donc je ne prétends pas pouvoir t'expliquer correctement et clairement cette correction.!!
Cependant le principe de l'exercice est d'utiliser le fait que Q soit dense dans R, autrement dit, le fait que tout réel soit limite d'une suite de rationnel ou encore que dans tout intervalle (non reduit à un singleton)il existe un rationnel.

Je vais te proposer une autre solution:

soit x dans R

alors on a pour tout entier n non nul,



Comme pour tout n les intervalles et ne soit pas réduits à des singletons on sait qu'il existe forcement un rationnel dans le premier et un rationnel dans le deuxième pour tout n.
On a donc construit 2 suites de rationnels et qui vérifient



On voit d'après le théorème des gendarmes que les deux suites xn convergent vers x.

On a donc pour tout n,



soit comme f est croissante



mais les xn sont rationnels (on les a construit comme cela)

donc on a pour tout n,



soit en passant à la limite

[invitebb921944]

à la limite , quand n tend vers +∞ , on obtient

x ≤ f(x) ≤ x

"donc , selon ce que je comprends: x ≤ f(x) ≤ x n'est valable qu'au +∞ . mais l'exercice conclue que "

On passe a la limite pour n et non pour x.
On fait tendre n vers l'infini mais x, lui, reste quelconque (dans R).
Ainsi pour tout x dans R, on a bien x ≤ f(x) ≤ x.
D'ou f(x)=x pour tout x réel et f est l'identité sur R.

Le point délicat de la démo serait plutôt de savoir comment montrer que

et même topo pour le troisième membre de la double inégalité.