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bizarre comme solution d'exercice




  1. #1
    harry-potter

    Smile bizarre comme solution d'exercice

    salut les amis ,
    j'ai tombé ,dans un livre d'exercices d'analyse, sur une solution bizarre pour un problème.
    voici l'énoncé :
    soit f une application croissante de R dans R .
    sachant que l'image d'un rationnel par f est le même rationnel ; montrer que :
    f= identité R


    la solution a été publié comme suit :

    on note par E(x) : la partie entière de x


    pour x ∈ R et n ∈ N :


    ( E(nx) /n) ≤ x < ( (E(nx) + 1) / n )



    comme f est croissante :




    f(E(nx) / n ) ≤ f(x ) < f( (E(nx) + 1) / n )






    puis



    ( E(nx) /n) ≤ f(x) < ( (E(nx) + 1) / n )



    " jusqu'à là , tout est bon . mais à partir de ce ligne je ne comprends rien...???"




    à la limite , quand n tend vers +∞ , on obtient

    x ≤ f(x) ≤ x

    "donc , selon ce que je comprends: x ≤ f(x) ≤ x n'est valable qu'au +∞ . mais l'exercice conclue que "


    ∀ x ∈ R ; f(x)=x .
    alors f(x) =identitéR


    s'il vous plaît aidez moi à comprendre cet exercice.
    merci d'avance pou votre aide.

    -----


  2. #2
    Antho07

    Re : bizarre comme solution d'exercice

    Salut, je ne suis pas super à l'aise avec les parties entières donc je ne prétends pas pouvoir t'expliquer correctement et clairement cette correction.!!
    Cependant le principe de l'exercice est d'utiliser le fait que Q soit dense dans R, autrement dit, le fait que tout réel soit limite d'une suite de rationnel ou encore que dans tout intervalle (non reduit à un singleton)il existe un rationnel.

    Je vais te proposer une autre solution:

    soit x dans R

    alors on a pour tout entier n non nul,



    Comme pour tout n les intervalles et ne soit pas réduits à des singletons on sait qu'il existe forcement un rationnel dans le premier et un rationnel dans le deuxième pour tout n.
    On a donc construit 2 suites de rationnels et qui vérifient



    On voit d'après le théorème des gendarmes que les deux suites xn convergent vers x.

    On a donc pour tout n,



    soit comme f est croissante



    mais les xn sont rationnels (on les a construit comme cela)

    donc on a pour tout n,



    soit en passant à la limite


  3. #3
    invite43219988

    Re : bizarre comme solution d'exercice

    à la limite , quand n tend vers +∞ , on obtient

    x ≤ f(x) ≤ x

    "donc , selon ce que je comprends: x ≤ f(x) ≤ x n'est valable qu'au +∞ . mais l'exercice conclue que "
    On passe a la limite pour n et non pour x.
    On fait tendre n vers l'infini mais x, lui, reste quelconque (dans R).
    Ainsi pour tout x dans R, on a bien x ≤ f(x) ≤ x.
    D'ou f(x)=x pour tout x réel et f est l'identité sur R.

    Le point délicat de la démo serait plutôt de savoir comment montrer que

    et même topo pour le troisième membre de la double inégalité.


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