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Eq. Diff. ac comme solution : une série entière



  1. #1
    Ergamen

    Eq. Diff. ac comme solution : une série entière


    ------

    Bonjour a tous, je suis dans mes révisions et j'ai quelques soucis sur ce genre d'exercice, je vous donne l'énoncé :

    On Considère l'équation différentielle : xy''+2y=1 où x [0;a] a>0.
    On suppose que la solution de l'équation se développe en série entière, i-e y(x) = , de rayon de convergence R > 0.

    1. Chercher . Montrer que pour n>=1,



    2. Chercher le rayon de convergence de la série en question.

    3. Chercher le développement correspondant à y'(0)=1 en précisant .

    ALors pour la première question, je pars de y(x), j'exprime y'(x) et y''(x) en tant que somme, et je les replace dans l'équa. diff.
    Ensuite je réindice les sommes, puis si l'on repasse le 1 a gauche, et si l'on considère que la partie gauche est une série entière, on a :
    = 0 et donc = 0 (est-ce correct ?)
    Et en regroupant j'obtiens une relation de en fonction de n, et je peux ainsi calculer

    Par contre pour montrer la relation d'après, j'ai bien essayé de la montrer par récurrence, car je pense y arriver comme cela, mais impossible d'y parvenir... Si quelqu'un pourrait me venir en aide a ce niveau.

    Pour la question 2. pas de grand soucis.

    Et la question 3. par contre j'ai du mal a la saisir

    Merci a tous

    -----

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  4. #2
    matthias

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    Pour la première question, il suffit de dire que a0 = y(0) et de regarder ce que ça donne dans l'équation différentielle.

    Par contre ce que tu as fait sert pour la deuxième question. Tu devrais trouver une relation entre an+1 et an pour n >= 1, ce qui te permet de retomber sur la formule souhaitée.

    Pour la 3, il faut voir que tu n'as pas encore déterminé a1, mais y'(0) = 1 te permet de le faire. Tu obtiens donc un développement complètement caractérisé.
    Dernière modification par matthias ; 22/06/2006 à 18h45.

  5. #3
    chwebij

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    est ce qu'on peut trouver la fonction de cette SE?
    je vois pas comment faire

  6. #4
    rvz

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    Citation Envoyé par chwebij
    est ce qu'on peut trouver la fonction de cette SE?
    je vois pas comment faire
    Bonjour,

    Je n'en sais rien, mais voilà une piste qui me vient :
    Soit f la fonction à chercher :


    Appelons g cette dernière expression. Alors on voit que la dérivée de g vaut

    Sait-on calculer ça ? Je n'en sais rien, mais je trouve que ça a une gueule plus sympathique, et vu que de toute façon, trouver f revient à trouver g....

    __
    rvz

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  8. #5
    Ergamen

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    Arf, je ne parviens vraiment pas a démontrer l'égalité (pour n>=1) des , je vous fais pars de mon raisonnement.

    On a donc xy'' + 2y = 1 et on suppose que la solution se développe en série entière, on a donc :
    y(x) =
    donc y'(x) =
    et y''(x) =

    On a donc l'égalité : x + 2 = 1
    d'où x + 2 - 1 = 0
    Comme la somme de séries entières est une série entière, cette égalité revient donc à : = 0 et donc les sont nuls.

    On réajuste les coefficients des sommes :
    x + 2 - 1 = 0

    On a ainsi

    Et arrivé la je vois pas trop comment avancer, p-e qu'il ne faut pas réajuster les coefficients des sommes comme cela...

    Si vous pouviez m'éclairer, d'habitude, j'arrive, a une égalité des en fonction de n, et ca se fait assez bien mais la...

    Merci a tous
    Dernière modification par Ergamen ; 23/06/2006 à 17h11.

  9. #6
    matthias

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    Aïe, aïe, aïe. Qu'est-ce-que ton x fait dans les coefficients ? Tu dois le multiplier avec xn-2 !!!

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  11. #7
    Ergamen

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    argh oui exact, j'obtiens donc :

    d'où pour n >=1 ?

  12. #8
    matthias

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    Non, recommence calmement et en détaillant, tu devrais trouver les erreurs.

  13. #9
    Ergamen

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    j'ai juste une question, pour associer l'égalité obtenue des deux séries entières avec la série entière des faut qu'il y est le même indice de sommation qu'avec les i-e somme des n>=0 ou alors qu'on est dans les sommes des du et non des par exemple ?

  14. #10
    matthias

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    L'important c'est de regrouper les coefficients pour des puissances de x identiques. Si jamais l'indice de sommation ne commence pas à la même valeur, tu peux toujours sortir quelques termes s'une somme.

  15. #11
    Ergamen

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    Oki, merci beaucoup, ca marche déjà beaucoup mieux

    Par contre je vois pas trop ce qu'ils veulent dire dans cette question :
    3. Chercher le développement correspondant à y'(0)=1 en précisant

  16. #12
    matthias

    Re : Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

    La question 2 ne te permet pas de connaître complètement le développement, puisque tu ne connais les coefficients que en fonction de a1, mais que tu ne connais pas a1.
    La condition supplémentaire permettant de connaître a1, tu connais donc le développement.

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