Eq. Diff. ac comme solution : une série entière

[invited89c0c70]

Bonjour a tous, je suis dans mes révisions et j'ai quelques soucis sur ce genre d'exercice, je vous donne l'énoncé :

On Considère l'équation différentielle : xy''+2y=1 où x [0;a] a>0.
On suppose que la solution de l'équation se développe en série entière, i-e y(x) = , de rayon de convergence R > 0.

1. Chercher . Montrer que pour n>=1,



2. Chercher le rayon de convergence de la série en question.

3. Chercher le développement correspondant à y'(0)=1 en précisant .

ALors pour la première question, je pars de y(x), j'exprime y'(x) et y''(x) en tant que somme, et je les replace dans l'équa. diff.
Ensuite je réindice les sommes, puis si l'on repasse le 1 a gauche, et si l'on considère que la partie gauche est une série entière, on a :
= 0 et donc = 0 (est-ce correct ?)
Et en regroupant j'obtiens une relation de en fonction de n, et je peux ainsi calculer

Par contre pour montrer la relation d'après, j'ai bien essayé de la montrer par récurrence, car je pense y arriver comme cela, mais impossible d'y parvenir... Si quelqu'un pourrait me venir en aide a ce niveau.

Pour la question 2. pas de grand soucis.

Et la question 3. par contre j'ai du mal a la saisir

Merci a tous
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[invitec314d025]

Pour la première question, il suffit de dire que a₀ = y(0) et de regarder ce que ça donne dans l'équation différentielle.

Par contre ce que tu as fait sert pour la deuxième question. Tu devrais trouver une relation entre a_n+1 et a_n pour n >= 1, ce qui te permet de retomber sur la formule souhaitée.

Pour la 3, il faut voir que tu n'as pas encore déterminé a₁, mais y'(0) = 1 te permet de le faire. Tu obtiens donc un développement complètement caractérisé.

[invited9d78a37]

est ce qu'on peut trouver la fonction de cette SE?
je vois pas comment faire

[invite6b1e2c2e]

est ce qu'on peut trouver la fonction de cette SE?
je vois pas comment faire

Bonjour,

Je n'en sais rien, mais voilà une piste qui me vient :
Soit f la fonction à chercher :


Appelons g cette dernière expression. Alors on voit que la dérivée de g vaut

Sait-on calculer ça ? Je n'en sais rien, mais je trouve que ça a une gueule plus sympathique, et vu que de toute façon, trouver f revient à trouver g....

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited89c0c70]

Arf, je ne parviens vraiment pas a démontrer l'égalité (pour n>=1) des , je vous fais pars de mon raisonnement.

On a donc xy'' + 2y = 1 et on suppose que la solution se développe en série entière, on a donc :
y(x) =
donc y'(x) =
et y''(x) =

On a donc l'égalité : x + 2 = 1
d'où x + 2 - 1 = 0
Comme la somme de séries entières est une série entière, cette égalité revient donc à : = 0 et donc les sont nuls.

On réajuste les coefficients des sommes :
x + 2 - 1 = 0

On a ainsi

Et arrivé la je vois pas trop comment avancer, p-e qu'il ne faut pas réajuster les coefficients des sommes comme cela...

Si vous pouviez m'éclairer, d'habitude, j'arrive, a une égalité des en fonction de n, et ca se fait assez bien mais la...

Merci a tous

[invitec314d025]

Aïe, aïe, aïe. Qu'est-ce-que ton x fait dans les coefficients ? Tu dois le multiplier avec x^n-2 !!!

[invited89c0c70]

argh oui exact, j'obtiens donc :

d'où pour n >=1 ?

[invitec314d025]

Non, recommence calmement et en détaillant, tu devrais trouver les erreurs.

[invited89c0c70]

j'ai juste une question, pour associer l'égalité obtenue des deux séries entières avec la série entière des faut qu'il y est le même indice de sommation qu'avec les i-e somme des n>=0 ou alors qu'on est dans les sommes des du et non des par exemple ?

[invitec314d025]

L'important c'est de regrouper les coefficients pour des puissances de x identiques. Si jamais l'indice de sommation ne commence pas à la même valeur, tu peux toujours sortir quelques termes s'une somme.

[invited89c0c70]

Oki, merci beaucoup, ca marche déjà beaucoup mieux

Par contre je vois pas trop ce qu'ils veulent dire dans cette question :
3. Chercher le développement correspondant à y'(0)=1 en précisant

[invitec314d025]

La question 2 ne te permet pas de connaître complètement le développement, puisque tu ne connais les coefficients que en fonction de a₁, mais que tu ne connais pas a₁.
La condition supplémentaire permettant de connaître a₁, tu connais donc le développement.