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...Intégrer ça?



  1. #1
    EspritTordu

    Angry ...Intégrer ça?


    ------

    Bonjour,

    Encore une équation différentielle, il me semble . Comment intégrer s'il vous plaît l'équation suivante de manière à obtenir Dx/dt et x(t)?

    <L'équation> D(2)x/Dt2=A-BX^2

    avec D(2)x/DT2 la dérivée seconde de x par rapport à t, A et B constantes.


    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    galilee294

    Re : ...Intégrer ça?

    Bonjour,
    La fonction que tu as à intégrer est un polynôme. De même que quant on dérive un polynôme, le degré (la puissance la plus importante) de celui-ci diminue de 1, quant on intégre (opération inverse) un polynôme le degré de celui-ci augmente de 1.
    Ainsi dans ton cas, tu dois intégrer 1 fois ton polynôme pour obtenir Dx(t)/Dt, et une fois encore pour obtenir x(t).
    Je pense que tu as devener le degré de ton polynôme x(t). Attention à ne pas oublier les constantes d'intégration.
    Bon courage

  4. #3
    matthias

    Re : ...Intégrer ça?

    Non galilee, ça ne marche pas comme ça. Ici X est une fonction de t. L'équation x' = x admet comme solutions k.et ce qui n'est pas vraiment un polynôme.

    Pour EspritTordu, multiplies par dx/dt, ce sera plus facile à intégrer.

  5. #4
    The Artist

    Re : ...Intégrer ça?

    maple me donne la solution :
    x(t)=-b(t^4)/12+a(t^2)/2+Cx+D
    où C et D sont les constantes d'intégration
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

  6. #5
    matthias

    Re : ...Intégrer ça?

    Non, tu fais la même erreur que galilee. C'est une équation différentielle. Tu as trouvé une fonction x telle que x''(t)=a-bt², ce qui n'est pas la question posée.
    Tu peux vérifier que tu n'as pas x''(t)=a-bx(t)² avec ta fonction.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    The Artist

    Re : ...Intégrer ça?

    oups désolé !
    On m'disait, j'veux être artiste, tu t'prends pour qui ? Oublie oublie !!!

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : ...Intégrer ça?

    Aie, c'est une équation du second ordre non linéaire.
    Il existe une méthode pour résoudre ce genre d'équation différentielle ?

  11. #8
    matthias

    Re : ...Intégrer ça?

    La première intégration se fait bien (voir message #3), ensuite c'est pour les spécialistes du calcul de primitives tordues

  12. #9
    Bleyblue

    Re : ...Intégrer ça?

    Donc en fait ?

  13. #10
    matthias

    Re : ...Intégrer ça?

    Oui, ça s'intègre bien ((y')²/2 pour le premier terme et pas de problème pour le deuxième en développant).

  14. #11
    Bleyblue

    Re : ...Intégrer ça?

    C'est amusant, je n'ai jamais penser à procéder comme ça. J'apprends tous les jours

    merci pour l'astuce

  15. #12
    fderwelt

    Re : ...Intégrer ça?

    Bonne nuit,

    Depuis le temps que je n'avais pas eu ce genre d'équa diff à résoudre, j'en avais oublié l'astuce, que j'ai dû redécouvrir à la mimine... merci à matthias pour m'avoir rafraîchi la mémoire! Comme quoi, il n'est jamais mauvais de se faire un "formulaire" perso pour noter ce genre d'expériences toujours pénibles à revivre...

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

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  17. #13
    EspritTordu

    Re : ...Intégrer ça?

    Oui, ça s'intègre bien ((y')²/2 pour le premier terme et pas de problème pour le deuxième en développant).
    C'est un peu vite pour moi : je ne vois pas en quoi la multiplication par la dérivée première permet d'avancer... Après l'équation de Bleyblue, comment s'y prend-on?

  18. #14
    matthias

    Re : ...Intégrer ça?

    Dérive (y')² et tu verras.

  19. #15
    EspritTordu

    Re : ...Intégrer ça?

    Effectivement y'.y'', intégré cela donne bien ...

    Alors le résultat de l'intégration de l'ensemble me donne, si je ne me suis pas trompé :



    où C1 et C2 sont respectivement les constantes des primitives des deux termes du second membre.

    Tout compte fait, j'ai y' exprimée en fonction de y... c'est presque comme au départ... il doit y avoir une erreur

  20. #16
    matthias

    Re : ...Intégrer ça?

    Tu n'as pas besoin de deux constantes C1 et C2, une seule suffit.

    Ensuite il faut faire attention quand tu appliques ta racine carrée, rien ne te dit que X' est positive.

    Pour le reste c'est la partie vraiment pénible. C'est du calcul de primitive lourdingue à discuter en fonction des valeurs des constantes. Tu es sûr qu'on te demande de résoudre explicitement l'équation ?

  21. #17
    EspritTordu

    Re : ...Intégrer ça?

    donc, cela :


    Comment discuter en fonction des constantes ? Ce qui m'intéresse c'est dx/dt et x(t)!

  22. #18
    matthias

    Re : ...Intégrer ça?

    En gros ça revient à calculer :



    Ca risque déjà d'être l'horreur en connaissant les constantes. Si tu ne les connais pas c'est injouable.

    Essaye sur ce site, tu vas voir : http://integrals.wolfram.com/index.jsp

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  24. #19
    EspritTordu

    Re : ...Intégrer ça?

    Oui le résultat du site est complexe si on considère x comme un nombre alors que si x est une fonction de t... le site ne semble pas y parvenir....

    Merci.

  25. #20
    matthias

    Re : ...Intégrer ça?

    C'est une équation à variables séparées (x'f(x) = g(t)). Tu n'as pas besoin de considérer x comme une fonction de t dans l'intégration.

    A la physiscienne, ça donne dx/dt = g(t)/f(x) (ici g(t) = 1), donc f(x)dx = g(t)dt, et tu intègres des deux côtés (en fonction de x à gauche, en fonction de t à droite).

    De manière plus mathématique, si F est une primitive de f (fonction de x), et G une primitive de g (fonction de t), tu as :

    h(t) = F(x(t))
    h'(t) = x'(t)f(x(t)) = g(t)
    donc F(x(t)) = G(t) + k

  26. #21
    EspritTordu

    Re : ...Intégrer ça?

    je suis perdu!

    Tu n'as pas besoin de considérer x comme une fonction de t dans l'intégration.
    ...Heu pourquoi subitement ma fonction x(t) peut-être cassée, ou plutôt pourquioi ne pas faire cette manipulation dès le début?
    Dernière modification par EspritTordu ; 22/06/2006 à 14h01.

  27. #22
    matthias

    Re : ...Intégrer ça?

    Citation Envoyé par EspritTordu
    ...Heu pourquoi subitement ma fonction x(t) peut-être cassée, ou plutôt pourquioi ne pas faire cette manipulation dès le début?
    Au début tu as une équation d'ordre 2, ce n'est pas tout à fait aussi simple.

  28. #23
    Kelm

    Re : ...Intégrer ça?

    c pa a faire avec la methode d'euler?

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