Aire d'un quadrilatère

[invite28a6d911]

Bonjour (et bonne année 2007 ! )

J'aimerais savoir s'il est possible de calculer l'aire d'un quadrilatère quelconque en connaissant uniquement les longueurs de 3 cotés consécutifs et les 2 angles définis par ces 3 cotés.

Merci beaucoup
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[invite7553e94d]

Bonjour, et mailleurs voeux.
Oui, c'est possible étant donné que la donnée de trois cotés et de deux angles détermine un quadrilataire quelconque (en précisant bien de quel angle il s'agit).

Le plus simple pour le calcul reste la décomposition en triangles.
Bonne chance.

[invite28a6d911]

Oui mais je ne sais pas comment décomposer en triangles parce que ce sont deux angles consécutifs...

Lorsque les deux angles sont opposées, il faut couper le quadrilatère dans la diagonale et utiliser la formule d'aire des triangles S= 1/2 bc sin (A) (b et c étant les longueurs de deux cotés et A l'angle formé par ces deux cotés).

Mais dans ce cas là je ne vois vraiment pas comment découper le quadrilatère...

Merci

[invite7553e94d]

Je trouve que l'aire du quadrilataire ABCD . Où a, b, et c sont les longueur respectives [AB], [BC], et [CD] (connus) et d est la longueur de [AD] (inconnue). Et où (resp. ) est l'angle formé par (AB) et (BC), connu (resp. (AB) et (AD), inconnu).

Le problème revient donc à déterminer la longueur d et l'angle .

Bonne chance.

PS : Pour la méthode : calcule la hauteur h issue de [BC] dans le triangle BCD et déduis-en l'aire du demi quadrilataire BCD. Idem de l'autre coté.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite28a6d911]

Je ne comprend pas... L'aire du triangle BCD est égale à 1/2 bc sin(bêta) et celle de ABD à 1/2 ad sin(delta), d'où la formule :

.

Le fait de calculer la hauteur, ça me permet de retrouver cette formule, mais je ne vois pas en quoi ça permet de trouver d et delta... En plus je ne vois pas comment on se sert de l'angle alpha avec cette méthode, car il se retrouve "coupé en deux"...

C'est possible de calculer les diagonales de ABCD, mais je ne sais pas si ça sert à quelque chose...

Si vous pouviez m'éclairer parce que je suis un peu perdue...

[invite7553e94d]

Si vous pouviez m'éclairer parce que je suis un peu perdue...

Si vraiment tu n'y parviens pas, utilise la méthode lourde mais qui marche à tous les coups : place toi dans un repère orthonormal, recherche les coordonnées de A, B, C et D, et déduis-en l'aire des deux triangles.

Mais il doit y avoi plus subtile ...

Bonne chance

[invite7553e94d]

allez :

La somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 360°. Mais cela n'est pas vrai pour un quadrilatère croisé.

L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment.

Ca peut peut-être t'aider

[invitea3eb043e]

Tu as donc un quadrilatère où tu connais AB, BC, CD et les angles ABC et BCD. C'est ça ?
Il faut déjà que le quadrilatère ne soit pas croisé, sinon on ne sait pas trop ce qu'est l'aire.
Tu as déjà l'aire de ABC qui vaut :
1/2 AB * BC * sin(ABC)
Tu commences par calculer le côté AC par :
AC² = AB² + BC² - 2 AB BC cos(ABC)
Ensuite tu calcules l'angle ACB en écrivant la relation des sinus :
AB/sin(ACB) = AC/sin(ABC)
(tu as calculé AC juste avant)
Tu trouves l'angle ACD comme BCD - ACB.
Enfin tu calcules l'aire du triangle ACD en écrivant qu'elle vaut
1/2 AC * CD * sin(ACD)
Et hop, une petite addition...