partie relativement compacte

[invited9c54417]

bonjour à tous !
En cette période de fête, j'ai décidé de réviser pour mes partiels
et je bloque sur un lemme que je n'arrive pas à démontrer complétement :

Dans un espace métrique ( X, d ), une partie A est relativement compacte si et seulement si de toute suite (f_n) de A on peut extraire une sous suite convergente dans X .


l'implication de gauche à droite est facile ... je bloque pour l'implication de droite à gauche.

j'ai déjà vu un post traitant de ce sujet, mais manque de bol, c'est pas le bon sens qui m'interessait

merci par avance ! et bonne fête à tous !
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[invitef079b53b]

Bonsoir,
on montre que l'adhérence de A est compact.
On prends une suite (u(n)) d'éléments de Ad(A).
Par hypothèse, on peut extraire une sous-suite convergeant dans X, mais comme Ad(A) est fermé la sous-suite va converger dans Ad(A).
Cordialement Erik

[invited9c54417]

merci pour cette réponse rapide ... mais admettons que ta suite u(n) soit dans ad(A) \ A ... tu ne peux pas utiliser ton hypothèse .
ton hypothèse ne concerne que les suites d'éléments de A !

je suppose que je me trompe quelquepart, mais je ne vois pas où

[invited9c54417]

j'y ai un peu réfléchi et j'ai fini je pense par trouver la réponse qu'il me fallait.
Si la suite u(n) est sur la frontière de ad(A), il faut considérer des suites de suites , mais ça marche !

Merci en tout cas!

bonne fêtes

[A voir en vidéo sur Futura]