[Sup] Déterminant de Gram

[invitebe08d051]

Bonjour,

Je viens d'aborder un problème sur le déterminant de Gram et je voudrais votre avis sur quelques détails.

Soit une famille d vecteurs d'un espace vectoriel euclidien .

On note .

On veut montrer que si est liée alors .

Ça revient à montrer que la famille constituée des vecteurs ligne de la matrice G est liée.
Notons cette famille .

avec .

On sait que la famille est liée donc .

Remarquons alors que .

Donc .

Par bilinéarité du produit scalaire on peut voir que:

Donc est bien liée.

Qu'en pensez vous ??
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Ta démonstration est correcte, mais il me semble que tu t'ennuies à isoler un vecteur qui est combinaison linéaire des autres.

Si tu pars d'une combinaison linéaire nulle, , tu établis que la combinaison de lignes est nulle, et tu en déduis que, si les sont liés, il en est de même des , et le déterminant de Gram est nul.

[invitebe08d051]

Re et merci pour ta réponse God's Breath,

En effet, c'est bien plus simple ainsi.
Si on dispose d'une combinaison linéaire , il est simple de voir que :


ce qui correspond bien aux coordonnées de la somme .

Donc cette somme est bien nulle.

D'autres part, j'ai une autre question qui me gêne:

on pose

Soit le projeté orthogonal de sur .

On veut montrer que en effectuant des opérations sur les colonnes de .

Étant paresseux comme toujours et sachant que j'ai développé l'expression et j'arrive en 2 ligne à .

Je ne vois donc pas l'utilité de telles opérations...

Qu'en pensez vous ??

[invite57a1e779]

Soit le projeté orthogonal de sur .

[...]

Étant paresseux comme toujours

Moi je suis plutôt fainéant, cela permet de faire plus de choses en passant moins de temps sur chacune d'elles... et il me semble que le projeté orthogonal de sur est lui-même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

Moi je suis plutôt fainéant, cela permet de faire plus de choses en passant moins de temps sur chacune d'elles... et il me semble que le projeté orthogonal de sur est lui-même.

Loin de la, c'est moi qui a tout erroné !!
Il s'agit bien du projeté orthogonal sur .

[invite57a1e779]

Avec une bête opération de colonnes :



et si l'on a le bon goût de choisir tel que , on obtient un déterminant triangulaire et la formule voulue

[invitebe08d051]

Re,

Je me suis embrouillé avec la formule de la projection en oubliant que et étaient colinéaires.

Merci God's Breath.