Espace supplémentaire

[invite1a7e6a94]

on se place dans un espace préhilbertien reel , on definie le produit scalaire <A,B>=tr(transp(A)B) et on me demande de montrer que les espaces des matrices symétrique et anti-symetrique sont supplémentaire orthogonaux

je prend donc A une matrice symetrique B une matrice antisymetrique

mais je ne vois pas ce que sa change pour le produit scalaire... comment prouver l'othogonalité ??

de plus pour la supplémentarité , si on prend A=lambda*In , n'appartient t'elle pas a l'intersection ????

merci d'avance
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[invite57a1e779]

On a tr(M) = tr(transp(M)).

De plus, il faudrait utiliser le fait que A et B sont respectivement symétrique et antisymétrique.

[invite1a7e6a94]

merci de répondre a chaque fois si rapidement , pour l'orthogonalité c'est bon mais je bloque toujours pour le fait qu'ils soient supplémentaire, je sais que c'est un résultat classique mais je ne vois absolument pas comment le prouver

pourquoi lambda*In n'appartiendrait pas a l'intersection ??

[invite57a1e779]

pourquoi lambda*In n'appartiendrait pas a l'intersection ??

La matrice est antisymétrique si, et seulement si .

[A voir en vidéo sur Futura]