Sous-espace supplémentaire

[Sam*]

Bonjour , je viens de résoudre un exercice ou on me demande :
f est un endomorphisme , Montrer que ker(f) et Im(f) sont des sous-espaces supplémentaire . J'ai fait l'exercice mais j'ai un doute quelques part. Alors j'aimerais que quelqu'un fasse cette démonstration après je pourrais comparer cette résolution avec mon travail . Merci

Encore une question parce que j'ai un examen d'algèbre dans 10 jours . Pourriez-vous me dire la différence entre la définition d'un sous-espace supplémentaire et celle de la somme directe .
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[God's Breath]

Bonjour,

f est un endomorphisme , Montrer que ker(f) et Im(f) sont des sous-espaces supplémentaire . J'ai fait l'exercice mais j'ai un doute quelques part.

Moi, j'ai un gros doute, parce que le résultat est faux, on peut très bien avoir , et il sera difficile de démontrer que deux ensembles égaux sont supplémentaires...

Encore une question parce que j'ai un examen d'algèbre dans 10 jours . Pourriez-vous me dire la différence entre la définition d'un sous-espace supplémentaire et celle de la somme directe .

Supplémentaire : ne s'emploie que pour deux sous-espaces dont la somme est directe, et est de plus égale à l'espace tout entier.

Sinon, on peut avoir une somme directe de deux sous-espaces, ou plus, qui est un sous-espace strict.

[Sam*]

Comment ça le resultat est faux ? tu pourrais etre un tout petit peu plus précis ?

[God's Breath]

Comment ça le resultat est faux ? tu pourrais etre un tout petit peu plus précis ?

Je considère l'endomorphisme de défini dans la base canonique par et .
Si tu préfères, la matrice de dans la base canonique est .
Alors : et ne sont donc pas supplémentaires.

Pour obtenir le résultat, l'énoncé doit donner des hypothèses sur .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sam*]

Pour obtenir le résultat, l'énoncé doit donner des hypothèses sur .[/QUOTE]

Quelles genres d'hypothèse ??

Voilà comment s'écrit l'endomorphisme :
f(x,y,z)= (-x+y+z; -6x+4y+2z; 3x-y+z) avec (x,y,z) de R³

[Sam*]

Mais peut-on dire que les deux sev (ker(f) et Im(f) ) sont en somme directe ?

[God's Breath]

Il s'agit d'une sacrée hypothèse : c'est un cas particulier...

Que trouves-tu pour le noyau et pour l'image ?

[Sam*]

Il s'agit d'une sacrée hypothèse : c'est un cas particulier...

Que trouves-tu pour le noyau et pour l'image ?

J'ai trouvé un vecteur pour la base du noyau et 2 vecteurs pour la base de l'image .
Mais peut-on montrer que l'intersection de ker(f) et Im(f) est egale est réduite à {0} et R³= Ker(f) +Im(f) ??

Pour ma part je l'ai fait mais j'ai quelques petits doute .

[God's Breath]

Mais peut-on montrer que l'intersection de ker(f) et Im(f) est egale est réduite à {0} et R³= Ker(f) +Im(f) ??

Oui, on peut le faire !!!

[Sam*]

Pourrais-tu le faire comme ça je vais comparer avec ma méthode ??

[Sam*]

Pourrais-tu le faire comme ça je vais comparer avec ma méthode ??

Qu'est ce qui se passe God's Breath ?