sous espace de Mn(R) fermé

[invitec3f4db3a]

bonjour ,
Soit E un sous espace vectoriel de Mn(R) tel que toute matrice M de E non nulle est a valeur propre réelles et simple.

je dois montrer que pour (An)n€N d'élément de E et qui converge, converge vers A dans E.
Il suffit donc que je montre que E soit un fermé de Mn(R) . Seulement je ne sais pas comment le montrer. Je pourrais montrer que Mn(R)\E est un ouvert , mais ce n'est pas simple non plus. Que pour tout x€E , il existe r>0 tel que BF(x,r) est incluse dans E ?

Ca doit pas être bien dure mais je dois avouer que je seche
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[invite35452583]

bonjour ,
Soit E un sous espace vectoriel de Mn(R) tel que toute matrice M de E non nulle est a valeur propre réelles et simple.

Un sev d'un ev de dimension fini c'est donc ...

[invite42abb461]

Arretez moi si je me trompe mais je dirais que:
E est un sev de Mn(R) lui meme de dim n².
Notons p=dim E. E est alors défini par n²-p equations linéairement indépendantes, donc E est le noyau de l'intersection de n²-p formes linéaires.
Ces formes linéaires sont continues car on est en dimension finie, donc leur intersection aussi. Enfin, E est l'image réciproque du fermé {0} par l'intersection de ces formes linéaires continues, donc E est fermé. La caractérisation séquentielle s'ensuit.

[invite22a185a6]

Bonsoir,
ta deuxième caractérisation des fermés est fausse (celle par les boules fermés) globalement la caractérisation par les suites est plus pratique.
Aurevoir

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42abb461]

Je ne comprends pas: je n'ai pas parlé de boules fermées si ?

[invitec3f4db3a]

Oui effectivement , elle est fausse . Il suffit de prendre un point sur le bord pour que ca ne fonctionne pas.

Dans tous les cas merci de votre aide .

Une petite question suplementaire : Si je pose Am une suite de matrices cv vers A
et xm une suite de vecteur unité cv vers x . J'aimerais montrer si c'est vrai que Amxm converge vers Ax si possible j'aimerais juste une piste pour retrouver par moi même ce resultat et non pas le connaitre par coeur .

[invite42abb461]

Pouvez vous m'expliquer ce que j'ai dit de faux et pourquoi ?

[invitec3f4db3a]

Vous n'avez rien dit de faux. C'est ma caractérisation au premier message qui est fausse !!!

[invite42abb461]

Oups pardon j'avais pas vu (:. Ma methode est elle validée ? Si ya du homothopie ou du martini bird dans les parages merci de jeter un oeil (=

[invite22a185a6]

Rebonsoir,
tout d'abord désolé Gpadide je ne faisais pas allusion à ton post je serai plus précis à l'avenir,ensuit pour ce qui est de la cv de Anxn vers Ax le problème est équivalent à celui de la cv d'un produit et d'une somme de suites de R ici (topologie usuelle ofc),
aurevoir

[invitec3f4db3a]

Oui parfait . je comprends trés bien merci !!

( je me sens un peu bête de pas avoir pensé a tout ca... )

[invite22a185a6]

Ca arrive à tout le monde (et à moi plus qu'à mon tour),
ensuite Gpadide je ne sais pas ce que désigne l'intersection de formes linéaires,la réponse au problème initial a été donnée par homotopie tout est dans le caractère de sous-ev en dimension finie(propriété générale) en fait la réponse est au début de l'énoncé(!)
aurevoir

[invite42abb461]

Oui dsl pour cette formulation un peu rapide. J'entendais par "intersection des formes linéaires", l'intersection des noyaux. Chaque noyau est fermé, car image réciproque de zero, donc l'intersection de ces noyaux (i.e. le sev) est fermée. C'est vrai que c'est une propriété générale mais elle n'est pas explicitement au programme de prépa, c'est pourquoi j'ai proposé une dem. Enfin, pouvez vous détailler le raisonnement pour An*xn, je n'ai pas compris.

[invite22a185a6]

Bonsoir,
pour An*xn contente toi de développer le produit tu verras la chose plus clairement je pense,ensuite ton argument de continuité de l'intersection(!) était superflue comme tu l'as fait remarquer c'est l'intersection des fermés qui compte,enfin lorsque j'étais en spé c'était totalement au programme même pas "tangent",
bonne soirée