Matrice et supplémentaire
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Matrice et supplémentaire



  1. #1
    Eogan

    Matrice et supplémentaire


    ------

    Bien le bonjour,
    Voilà j'ai un petit problème et pas de corrigé
    "Donner la matrice dans la base canonique d'un endomorphisme f de R² pour lequel Ker f et Im f ne sont pas supplémentaires."
    Ca me parait un peu vague, tout ce que je sais c'est que c'est une matrice 2*2
    Mais je n'arrive pas à poser les bonnes hypothèses de départ...
    Un ptit coup de main?
    Merci

    -----

  2. #2
    invite8b04eba7

    Re : Matrice et supplémentaire

    Citation Envoyé par Eogan Voir le message
    "Donner la matrice dans la base canonique d'un endomorphisme f de R² pour lequel Ker f et Im f ne sont pas supplémentaires."
    Est-ce qu'un tel endomorphisme peut etre nilpotent ?

  3. #3
    Eogan

    Re : Matrice et supplémentaire

    Merci!
    Je ne sais pas(ou ne me souvient pas ) ce qu'est un endomorphisme nilpotent, mais j'imagine que ce doit être un endomorphisme dont la matrice M associée est nilpotente.
    Donc si notre endomorphisme est nilpotent, il existe un k tel que M^k=0.
    Ker M^k = R² et Im M^k = {0} et les deux sont supplémentaires, mais ça c'est pour M^k je ne vois pas trop où ça doit me mener...

  4. #4
    invite6de5f0ac

    Re : Matrice et supplémentaire

    Citation Envoyé par doudache Voir le message
    Est-ce qu'un tel endomorphisme peut etre nilpotent ?
    Bonjour,

    Si Im f est contenu dans Ker f, "ça le fait" comme disent les djeun'z aujourd'hui...
    Par exemple dans la base canonique (e1,e2), on prend f(e1) = e2 et f(e2)=0. Là c'est nilpotent, mais ce n'est évidemment pas la seule possibilité, même dans R².

    Ça y est, j'ai encore été trop bavard...

    -- françois

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite8b04eba7

    Re : Matrice et supplémentaire

    Citation Envoyé par Eogan Voir le message
    Je ne sais pas(ou ne me souvient pas ) ce qu'est un endomorphisme nilpotent, mais j'imagine que ce doit être un endomorphisme dont la matrice M associée est nilpotente.
    Donc si notre endomorphisme est nilpotent, il existe un k tel que M^k=0.
    C'est exactement ca. Maintenant, meme en dimension quelconque, peux-tu me dire quels sont les seuls endomorphismes nilpotents pour lesquels Imf et Kerf sont supplementaires ?

    Indice : si Imf et Kerf sont supplementaires, que vaut le rang de f2 (ou fn) par rapport a celui de f ?

    Ensuite pour aller un peu plus loin, essaie de montrer qu'en dimension 2, les endomorphismes f pour lesquels Imf et Kerf ne sont pas supplementaires sont exactement les endomorphismes nilpotents (l'endomorphisme nul non compris). Tu pourras t'inspirer du post de fderwelt.

    P.S. : fderwelt, j'attends toujours ta reponse d'ici

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