Bien le bonjour,
Voilà j'ai un petit problème et pas de corrigé
"Donner la matrice dans la base canonique d'un endomorphisme f de R² pour lequel Ker f et Im f ne sont pas supplémentaires."
Ca me parait un peu vague, tout ce que je sais c'est que c'est une matrice 2*2
Mais je n'arrive pas à poser les bonnes hypothèses de départ...
Un ptit coup de main?
Merci
Est-ce qu'un tel endomorphisme peut etre nilpotent ?Envoyé par Eogan
Merci!
Je ne sais pas(ou ne me souvient pas
Donc si notre endomorphisme est nilpotent, il existe un k tel que M^k=0.
Ker M^k = R² et Im M^k = {0} et les deux sont supplémentaires, mais ça c'est pour M^k je ne vois pas trop où ça doit me mener...
Bonjour,
Si Im f est contenu dans Ker f, "ça le fait" comme disent les djeun'z aujourd'hui...
Par exemple dans la base canonique (e1,e2), on prend f(e1) = e2 et f(e2)=0. Là c'est nilpotent, mais ce n'est évidemment pas la seule possibilité, même dans R².
Ça y est, j'ai encore été trop bavard...
-- françois
C'est exactement ca. Maintenant, meme en dimension quelconque, peux-tu me dire quels sont les seuls endomorphismes nilpotents pour lesquels Imf et Kerf sont supplementaires ?Je ne sais pas(ou ne me souvient pas
Donc si notre endomorphisme est nilpotent, il existe un k tel que M^k=0.
Indice : si Imf et Kerf sont supplementaires, que vaut le rang de f2 (ou fn) par rapport a celui de f ?
Ensuite pour aller un peu plus loin, essaie de montrer qu'en dimension 2, les endomorphismes f pour lesquels Imf et Kerf ne sont pas supplementaires sont exactement les endomorphismes nilpotents (l'endomorphisme nul non compris). Tu pourras t'inspirer du post de fderwelt.
P.S. : fderwelt, j'attends toujours ta reponse d'ici
