Besoin d'aide en proba

[invite2cc04abc]

Salutation à tous

Je sollicite votre aide pour m'aider à comprendre comment résoudre un exercice.

On me dit que le poids moyen d'un clou est de 10 g avec un écart type de 0.15 g.

On me demande quelle est la probabilité qu'une boîte de 100 clous pèse moins de 1kg.

Si j'appelle X ma variable aléatoire " poids d'un clou " , elle suit une loi normale de paramètre 10 et 0.15²

Donc jusque là pas de soucis.

Maintenant, comme je dispose des tables de la loi normale centrée réduite de paramètre (0,1) je pose Z = (X - 10)/0.15

C'est maintenant que ça coince un peu au niveau du raisonnement.
Je ne vois pas trop comment répercuter ça à mes 100 clous, comment je dois l'encadrer. Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil.
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[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

tu as 100 clous, donc tu peux considérer les 100 variables aléatoires où est la masse du clou.

On supposera ces v.a. indépendantes et de même loi gaussienne dont tu as donnée la moyenne et la variance.

Il faut se rappeler que la somme de gaussiennes indépendantes est encore une gaussienne... dont je te laisse déterminer la moyenne et la variance. Une fois ceci fait, tu pourras travailler avec la variable aléatoire qui représente la masse totale des clous.

[invite2cc04abc]

Salut Romain, merci de ton aide

Alors je prends Y la variable aléatoire de la masse de 100 clous

La moyenne est de 1000 g et l'écart type de 38.73 g

Donc maintenant on peut centrer et réduire pour utiliser les tables.

Donc on a Z = (Y-1000)/38.73

On a alors : P(0<x<1000) <=> P(-26<Z<0)

Mais j'ai l'impression que la je me plante :S

[invite2cc04abc]

Effectivement je me suis planté pour l'écart type. J'aurais besoin de votre aide pour éclaircir un point qui va m'aider à terminer l'exo sans problèmes.

On a donc un clou qui pèse en moyenne 10g et 0.15g d'écart type

donc E(X) = 10 donc E(100X) = 100E(X) = 1000

Maintenant pour la variance
J'ai vu une propriété qui dit que V(kX) = k²E(X)
Donc en utilisant ça j'obtient un écart type de 15g

J'ai vu également une propriété qui dit que V( X + Y) = V(X) + V(Y) pour des variables aléatoire indépendantes.

Donc si je considère que la somme de mes clous sont des variables indépendantes, d'après cette formule on aurait

V ( X1 + X2 + .... + X100) = V(X1) + V(X2) + ..... + V(X100) = 100V(X)

Donc ça me donnerai un écart type de 1.5g

Ce qui ne donne pas la même chose que V(kX). Laquelle doit donc être utilisée??

Pour mon exo, la première question ne nécessite pas de connaitre l'écart type. En effet si ma moyenne de 100 clous est correcte, c'est à dire 1000, on cherche P(Y<1000) avec Y ma VA de la masse des 100 clous.

Donc en changeant la variable pour travailler en loi normale centrée, on cherche

P(Z<0) = Phi(0) = 0.5 d'après le tableau.


C'est pour la question suivante qu'on a besoin de l'écart type.

Il faut calculer la probabilité qu'une boîte de 100 clous pèse entre 999g et 1002g

donc la P(999<Y<1002) <=> P[(999-1000)/15 < Z< (1002 - 1000/15] = Phi ( 0.13) + Phi(0.067) - 1 = 0.119 = 11.9%

Ce résultat est donc faux si mon écart type n'est pas de 15g mais de 1.5.

Donc voila, comment choisir entre l'une ou l'autre des formules exposée pour la variance?

Merci d'avance à ceux qui m'ont lu

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Tu utilises la somme X1+...+X100 de 100 variables différentes, indépendantes, et qui ont toutes même loi.
Alors que 100X est la somme de 100 fois la même variable : les variables X1, ..., X100 sont toutes égales, donc non indépendantes !

[invite2cc04abc]

Salut et merci de ta réponse

il faut donc bien utiliser la loi V(100X) = 100²V(X) car mes VA ne sont pas indépendantes, et j'ai donc un écart type de 15g pour 100 clous de moyenne 1000g

Mon calcul étant basé sur ce résultat, il semble donc correct?


Edit: en y réfléchissant bien, la somme de 100 clous est-elle vraiment une variable aléatoire dépendante? car ce n'est pas 100x le même clous, donc la masse d'un clou n'influe pas sur la masse du clou suivant non ?

[invite57a1e779]

Tu n'as rien compris ; tu as 100 variables distinctes et indépendantes qui fournissent la masse des 100 clous distincts de la boîte.
Tu es en train de faire le calcul pour une boîte qui contient 100 clones d'un même clou.

[invite2cc04abc]

J'avais pas compris ton message ^^ de ce point de vu la, c'est bon, c'est donc 1.5g mon écart type

Merci