[L1 Analyse] Compacité séquentielle

[invite811963fc]

Bonjour à tous,

devant un exercice, je me rends compte que je bloque un peu sur la notion de compacité séquentielle (j'espère ne pas faire de faute, mon cours est en anglais et ça s'appelle sequential compactness).

Voici l'énoncé :
Soit f : R -> R tel que |f(x)| < 1 pour tout x dans R, et soit l'ensemble
fermé {(x, f(x)) dans R² / x dans R}, montrez que la fonction est continue.
Conseil : on peut utiliser la compacité séquentielle.

Evidemment, je pensais prouver que c'était un ensemble compact pour ensuite prouver que l'application est continue, mais en regardant mon cours, j'ai plutôt l'impression que mes théorèmes vont dans "l'autre sens" (on part du principe que la fonction soit linéaire).

Mais déjà, je ne vois pas comment prouver que l'ensemble est compact. Je pensais qu'il suffisait de prouver que chaque "dimension" était compacte, mais "l'abcisse" est R, qui n'est pas compact.

Je suis assez perdu


Merci d'avance
-----

[invite986312212]

bonjour,

pour montrer que f est continue, tu peux peut-être essayer de montrer que l'image réciproque de tout fermé est fermée.

[invite811963fc]

Ah ok, je peux utiliser le fait que si les pre-images d'ensembles fermés sont fermés, alors la fonction est continue.

Merci pour cette réponse (my bad, j'aurais dû remonter plus loin dans mon cours), mais j'aimerais avoir une explication avec la compacité séquentielle, parce que ça ne fait "que" résoudre la question ça.

[invite811963fc]

D'ailleurs, il y a autre chose que je ne comprends pas :

un autre exercice :

Soit K < Rn. Prouvez que K est compact ssi pour toutes les familles d'ensembles (Fi)i dans I qui répondent aux propriétés suivantes
1) Fi fermé pour tout i
2) if i1, .., im dans I, alors Fi1 intersection Fi2 intersection ... K =/= ensemble nul

on a K intersection de l'intersection de tous les Fi

Mais, prenons dans R^1 K = (-5 , 5). Ce n'est évidemment pas compact, mais
la famille d'ensembles fermés F1 = [-2 , 2], F2 = [-1 , 1]et F3 = [-1/2 , 1/2] répond à tous les critères.

C'est moi ou j'ai tout compris de travers ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite811963fc]

Désolé du triple post (j'ai pas trouvé de fonction éditer), mais je précise que j'ai bien remarqué la ressemblance entre les 3 "règles" du 2ème exo et la définition de la compacité
(les familles ouvertes ==> deviennes les familles fermées
doivent contenir une sous famille ===> si i1, ..., im
qui contient aussi K ===> devient une sous famille dont l'intersection avec K est non vide)

Désolé si je ne suis pas très clair, je n'ai pas les idées très en place à cette heure ci.

Bonne nuit