maximum de f(x,y)

[gcortex]

Bonjour à tous et Excellente année 2010 !

Existe t-il une méthode mathématique pour avoir le max d'une fonction 3D ?

dérivées partielles ?

Ou on doit passer par une analyse informatique ?

Comment éviter les maximas locaux ??

Merci
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[invite88ef51f0]

Salut,
C'est la même chose qu'à 1 dimension : la dérivée première te dira où sont les extrema, la dérivée seconde te permettra de déterminer leur nature et si tu veux quelque chose de global il faut comparer les valeurs des maxima.
Et il existe de nombreux algorithmes permettant de trouver les maxima de manière numérique.

[gcortex]

C'est la même chose qu'à 1 dimension

Merci mais pour moi c'est pas évident

[gcortex]

Personne ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Coincoin t'a tout dit...quelle est ta fonction ?

[gcortex]

Coincoin t'a tout dit...

non au lycée c'est f(x)
f(x,y) j'ai jamais étudié

Il parle de la dérivée première mais laquelle ???

quelle est ta fonction ?

je souhaite avoir une méthode générale

si besoin j'essayerais de trouver une fonction
dont le maximum ne saute pas aux yeux

merci

[gcortex]

disons z = (1 - cos xy).cos y

le second terme est maxi pour y = 0 mais si y = 0 alors z = 0 !!!!!
et si on calcule la dérivée par rapport à y c'est pour quelle valeur de x ???

[invite88ef51f0]

Il y a effectivement plusieurs dérivées partielles possibles. On définit alors ce qu'on appelle le gradient, qui est un vecteur regroupant ces dérivées. À un extremum, le gradient est nul, c'est-à-dire que les dérivées par rapport à toutes les variables sont nulles.
Pour la dérivée seconde, on a ce qu'on appelle le hessien : cette fois-ci c'est une matrice dont le signe du déterminant renseigne sur le type d'extremum.

[invite6f25a1fe]

disons z = (1 - cos xy).cos y

le second terme est maxi pour y = 0 mais si y = 0 alors z = 0 !!!!!
et si on calcule la dérivée par rapport à y c'est pour quelle valeur de x ???

Dans ce cas particulier, pas besoin de gradient etc...

"pas seulement y=0" : il faut faire un raisonnement plus général : pas y=0, mais tous les te donne le terme de droite max (à +1). On aura donc z=f(x, y) max quand 1-cos(x.y) sera maximum, donc pour cos(xy)=-1, ce qui te donne pour forcément pour tout m et k entier (non nul pour k)

Donc le maximum est atteint et vaut +2 pour tout couple avec m entier, k entier non nul (sauf erreur de ma part)

[gcortex]

Merci pour vos réponses

Il y a donc une méthode générale pour les fonctions ardues
dans ce cas comment déterminer le couple (x,y) annulant le gradient ?

Et des méthodes plus simples pour les fonctions triviales
mais dans l'exemple, qu'est ce qui prouve que le maximum
du second terme ne correspond pas à un minimum du 1er ??

[gcortex]

Donc le maximum est atteint et vaut +2 pour tout couple

Au premier abord on sait que çà dépassera pas 2
Comme tu as trouvé 2, tu as trouvé les maximums

[inviteaf1870ed]

Je trouve que le document : http://pagesperso-orange.fr/lavau/mpsi2003/FONC2VAR.PDF explique bien les choses.
Si tu veux aller plus loin regarde ici : http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?s...2Fdocstokes.fr

[invite6f25a1fe]

Merci pour vos réponses

Il y a donc une méthode générale pour les fonctions ardues
dans ce cas comment déterminer le couple (x,y) annulant le gradient ?

Et des méthodes plus simples pour les fonctions triviales
mais dans l'exemple, qu'est ce qui prouve que le maximum
du second terme ne correspond pas à un minimum du 1er ??

Pour résumé, la manière générale pour ce genre de problème est :
1) annuler le gradient de ta fonction : on dit qu'on obtient les extremums (maximum, minimum et point scelle)
2) faire un développement limité de ta fonction autour des points trouvés à l'étape 1. En général, un développement à l'ordre 2 suffit. On utilise alors souvent la matrice Hessienne (mais on peut faire sans). Dans certains cas, il faudra pousser le développement plus loin (ordre 3 et plus) et là la matrice Hessienne n'est plus suffisante.

Dans les cas très complexes, on utilise des algorithmes qui convergent vers le maximum d'une fonction (avec tout les problèmes qui vont avec : a-t-on bien un maximum ou dit-on n'importe quoi, si oui à quelle vitesse converge-t-on, est-il local ou pas etc ...)

[gcortex]

Merci pour vos réponses

Je trouve que le document explique bien les choses.

Oui pour celui qui connait déjà

je suis resté bloqué sur r
vu la suite, çà doit être le rayon
reste à comprendre pourquoi on passe en polaire ?