Intégrale

[Thoy]

Bonsoir!

Petit souci sur la dernière question d'un exercice!

Soit f de [0,1] dans R continue, on suppose que f n'admet qu'un nombre fini de racines (avec ou sans changements de signe).
On suppose
J'ai montré que pour tout a, b de R, , je dois en déduire que la fonction f admet au moins deux racines avec changement de signes dans ]0,1[ et je vous avoue que je ne vois pas trop !
La suite dit : on suppose qu'il existe n positif tel que pour tout p de [0,n], . Montrer qu'il existe n+1 racines avec changement de signes dans ]0,1[. Pouvez vous m'éclairer ?
-----

[Thoy]

(une indication du professeur dit : choisir a et b tels que ax+b s'annule au même point que f)

[Hamb]

il faut tourner autour du fait que si une fonction continue est de signe constant sur [0,1] et a une intégrale nulle, alors elle est nulle. utilise ca pour établir l'existence d'1 changement de signe, puis d'un 2e, etc.

[God's Breath]

Bonsoir,

Si a moins de changement de signe, il existe un polynôme , de degré au plus qui a les mêmes changements de signes que .
On a alors un problème pour obtenir .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thoy]

Bonsoir à vous

Les premières questions servaient à montrer qu'il existait une racine avec changement de signe et c'est bien avec ce que tu as dit que je l'ai montré

Seulement avec les 2 je ne sais pas trop comment être rigoureux pour montrer qu'il y en a 2...

Je sais bien après qu'une récurrence rapide (comme tu l'as décrite God's Breath) permettra de conclure!

[Hamb]

god's breath n'utilise pas de récurrence, il donne directement la réponse pour la généralisation.
pour le cas avec 2 changements de signe, essaye de bien choisir a et b pour que (ax+b)f(x) soit de signe constant, et conclus.

edit : ce n'est jamais que ce qu'a dit god's breath avec n = 1

[God's Breath]

Il n'y a pas de récurrence.

Si change de signe en et , que peut-on dire du signe de ? Que vaut ? N'y a-t-il pas comme un problème ?

[Thoy]

Oui j'ai bien compris qu'il fallait que je choisisse a et b tels quels mais je ne vois pas très bien comment faire!

[Thoy]

Je ne comprend pas God's Breath! Déjà que j'ai du mal à voir pour un polynôme de degré 1 ...

[Hamb]

Allons y pas à pas :
On suppose que f ne change de signe qu'une fois. (tu as déjà prouvé qu'elle changeait de signe au moins une fois)

1) détermine a et b pour que le produit (ax+b)f(x) soit constant entre 0 et 1.
c'est à dire qu'il faut que lorsque f s'annule en changeant de signe, alors ax+b aussi.

2) tu as donc (ax+b)f(x) de signe constant et l'intégrale entre 0 et 1 de (ax+b)f(x) est nulle. qu'en déduis tu sur (ax+b)f(x) pour tout x ? qu'en déduis tu pour f ?

3) conclus sur l'absurdité de l'hypothèse d'un seul changement de signe.

[Thoy]

1) détermine a et b pour que le produit (ax+b)f(x) soit constant entre 0 et 1.
c'est à dire qu'il faut que lorsque f s'annule en changeant de signe, alors ax+b aussi.

C'est justement ça que je ne comprend pas, j'ai peut-être pas la bonne idée mais je ne vois pas !

[Hamb]

fais un tableau de signe en prenant a et b quelconques. Dedans tu indiques le signe de f sur [0,1] (je te rappelle qu'on suppose que f change 1 seule fois de signe) et le signe de ax+b sur [0,1], puis en 3e ligne du tableau le signe de (ax+b)f(x)

tu ne vois pas quel est la condition pour que (ax+b) et f(x) changent toujours de signe en meme temps ?

edit: plus précisément, si on note v le réel de [0,1] tel que f(v) = 0 et f change de signe en v, ne peux tu pas trouver une relation simple sur a,b et v pour que le produit (ax+b)f(x) soit de signe constant ?

[Thoy]

il faut que v=-b/a mais là on n'a qu'un seul zéro non?

[Hamb]

je te rappelle qu'on est dans un raisonnement par l'absurde ou f n'a qu'un seul 0, donc oui on a qu'un seul 0 et c'est normal ! donc continue tu es sur la bonne voie.

edit: à ceci près que de la facon dont tu écris la relation, on diraitque tu as envie de choisir v de facon a ce que ca marche bien, mais ici v est fixé (puisque f est fixée et v dépend de f uniquement), et c'est plutot a et b qu'on veut choisir comme il faut) donc j'aurais plutot écrit par exemple b = -av

[Thoy]

D'accord. Donc on suppose un seul point fixe or l'intégrale de (ax+b) est nulle. J'ai bien compris. Donc pour tout x (ax+b)f(x).... ? je ne vois pas trop

(j'ai compris le raisonnement mais j'avais pas bien compris que c'était par l'absurde )

[Thoy]

je ne vois pas là où je peux arriver à quelque chose d'absurde en fait

[Hamb]

relis tout ca a tete reposée demain, ca ira surement mieux. bonne fin de soirée

[Thoy]

J'espère que tu pourras me donner une réponse, je te remercie pour ton aide, je vais me coucher Bonne soirée à toi !