Représentation fidèle

[invite7c6483e1]

Bonjour,

J'ai un exercice qui me demande de donner une condition sur la dimension minimale du C-espace vectoriel V (de dimension finie!) à prendre pour obtenir une représentation fidèle d'un groupe G d'ordre fini. En gros c'est une condition sur la dimension de V qui fait que le morphisme soit injectif.

Je ne vois pas bien comment le faire. On me demande cela dans des cas particuliers: cyclique, non abélien, le groupe de Klein, est le groupe symétrique d'ordre plus grand que 3...

un peu d'indication svp !

Y a-t-il du théorème du rang là dedans?
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[invite4ef352d8]

Salut !


pour G cyclique, tu peut donner une représentation fidèle de dimension 1.

pour G non abélien... ca veut en gros dire n'importe qu'elle groupe donc on peut pas trop répondre à la question...

Le groupe de Kelin as une représentation fidèle de dimension 2, et il n'en a pas en dimension 1 (sinon il serait comutatif)

le groupe symétrique, as une représentation fidèle de dimension (n-1) qui est je pense minimal, mais y a pas d'argument simple qui me viennent à l'esprit dans l'immediat.

[invite642cafc1]

Premières réflexions :
une preuve pour ce type de résultat s'établit en montrant que pour un certain N, N convient (ici une représentation fidèle existe, et pour cela, généralement on parvient à l'exhiber, quoique ce ne soit pas indispensable en général) et que toute valeur inférieure à N ne convient pas.
Le cas G est cyclique est assez facile (N est le plus petit possible donc l'exhibition d'un exemple suffit).
Le cas du groupe de Klein nécessite de faire les 2 parties. Pour montrer que n=1 ne convient pas, il suffit de calculer le nombre d'éléments g de GL₁(C) vérifiant g²=Id_C pour aboutir à une contradiction.
Pour le cas G non abélien : il est beaucoup trop général pour trouver n de manière exacte, on peut par contre exhiber un majorant (card(G)).
Pour S_m (le groupe symétrique) :
déjà, il existe une représentation fidèle pour n=m. Donc N<=m.
Ensuite, on peut se poser la question pourquoi m=2 et m=3 ont été exclus (c'est un indice).
S₂ est cyclique donc N=... (la réponse a été quasiment donnée)
S₃ est non commutatif donc N>1 (Gl₁(C) ne l'est pas), il reste à trouver un exemple pour n=2 ce qui est assez facile.
Il semble que le majorant soit un bon candidat pour m>3.
S₄ se dévisse, on a
S₄ est un produit semi-direct de A₄ (sous-groupe des alternés) et d'un cyclique d'ordre 2.
A₄ est lui-même un produit semi-direct d'un groupe de Klein et d'un cyclique d'ordre 3.
Klein=>N>=2
Il est possible de montrer que N=2 n'est pas suffisant pour injecter le produit semi-direct avec C₃=>N>=3
En effet, un élément d'ordre 2 dans Gl₂(C) est soit l'idendité, soit l''anti-idendité' (tout élément est envoyé sur son opposé), soit a deux sous-espaces propres (un associé à la valeur propre 1, l'autre à la valeur propre -1). On a que l'image injective d'un groupe de Klein de Gl₂(C) contient l'anti-idendité qui est dans le centre de ce groupe. ceci est contradictoire pour créer un produit semi-direct avec un 3-cycle. Cela impose aussi une forme autre pour l'image du groupe de Klein dans Gl₃(C) (l'e.v. est une somme de trois droites dont les images des élements d'ordre sont l'anti-idendité sur 2 d'entre eux et l'idendité sur l'autre).
Rest à faire intervenir le dernier étage.
Pour m>4, la simplicié de S_m doit aider

[invitebe0cd90e]

Le truc c'est que "donner une condition" ca ratisse large, ca peut vouloir dire beaucoup de choses... s'agit t il de majorer, minorer cette dimension ?

Pour le cyclique, effectivement, tu peux determiner cette dimension exactement.
Pour G non abelien, le mieux que tu puisses dire est que la dimension doit etre >=2

Pour le groupe symetrique, je pense que Gyu voulait dire "simplicité de An" effectivement, le noyau du morphisme Sn -> GL_m(C) est soit Sn (donc rep triviale) soit An (donc l'image est un groupe a 2 elements) soit trivial (et dans ce cas c'est gagné). Apres tout depend de ce que tu connais de la theorie des representations de Sn.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite642cafc1]

Pour le groupe symetrique, je pense que Gyu voulait dire "simplicité de An"

Oui, je me dépéchais et je voulais écrire 'presque simple' dans le sens que tu as rappelé.

Pour m=4, N=3
On considère dans Gl₃(R), on complexifie ensuite mais c'est plus facile de travailler avec le corps R ici, le sous-groupe H laissant globalement invariant et de déterminant 1, un triplet de droites orthogonales (tant qu'elles sont non coplanaires on peut le supposer de toute manière quitte à changer le produit scalaire).
Le sous-groupe K de H laissant chaque droite invariante est un groupe de Klein. K est distingué (ou normal, synonymes mais parfois certains connaissent qu'un des deux termes), il est facile d'envoyer le groupe quotient dans le groupe des permutations des trois droites. On exhibe aisément un sous-groupe isomorphe à S₃ dans H qui s'injecte et se surjecte sur sur ce groupe de permutations. A isomorphisme près, le groupe produit de K et de ce sous-groupe isomorphe à S₃ ne peut être que direct ou tel que que le produit est isomorphe à S₄ (plein de moyens de le montrer, dont un indirect mais rapide par les sous-groupes de Sylow). On peut aussi exhiber l'isomorphisme à la main, ce qui est long et ennuyeux mais aboutit.

Pour les abéliens (bizzare de demander pour les non-abéliens dont on ne peut pas dire grand chose en toute généralité, à part le minorant donné par jobherzt et le majorant donné par moi, ce qui donne une fourchette non négligeable), on a un résultat global je pense :
G se décompose d'une unique manière unique (à iso près) en des cycliques dont les ordres se divisent. La quantité q de tels cycliques est unique et N=q (comme pour le groupe de Klein et les cycliques q=1)

PS : je ne viens seulement de voir le message de Ksilver, une partie de mon post fait doublon. Je suis 'accord avec lui que les représentations à partir de m=5 ça devient plus 'sportif'.

[invite642cafc1]

Ca commence à faire un peu décousu ces éléments de réflexion mais pour S₅ et S₆ il me semble que N=3.
Pour S₅, la considération des deux solides de Platon les plus complexes montrent que S₅ s'injecte dans O(3) et par suite dans U(3) et GL₃(C). Donc N<=3. (De mémoire j'hésitais avec A₅ mais il existe au moins une symétrie planaire or A₅ est entièrement dans le noyau du déterminant par simplicité de ce groupe).
Pour S₆, le 'ballon de football' doit donner un exemple d'injection de S₆ dans O(3) et ensuite dans GL₃(C). Je n'en suis qu'intuitivement convaincu mais il existe des 6-cycles (rotation autour d'un hexagone), des 5-cycles (rotation autour d'un pentagone), il semble difficile de faire beaucoup plus grand comme cycle, bref ça 'sent' un S₆ du moins comme sous-groupe des isométries de ce polyèdre. Ici, aussi il semble que N<=3.
Comme je pense que mon raisonnement pour S₄ montrant que dans ce cas N>=3 est valide, on a N>=3 pour tout les groupes S_m avec m>=4 puisque S₄ s'injecte dans chacun d'entre eux.
En tout cas pour les S_m, il serait intéressant de s'intéresser aux polyèdres, non nécessairement réguliers comme le 'ballon de football'. Il ne me semblerait pas étonnant que N=3 pour S_m avec m>=4. Je pense que ce problème doit '''trainer''' dans la littérature.
Au fait, pour S₃ que j'ai laissé en suspens, les isométries d'un hexagone donnent un exemple finissant de montrer que N=2.

[invite4ef352d8]

La page wikipedia sur les représentation de Sn, confirme ce que je pensais : pour Sn la plus petite représentation fidèle est de dimension n-1, on l'obtiens en prenant l'orthogonal de vect(1,...1) dans la représentation de permutation. (sigma(ei) =e_sigma^(-1)(i) )

(pour n<7 il peut y avoir d'autre représentation fidèle de dimension n-1 que celle ci...)

[invite642cafc1]

La page wikipedia sur les représentation de Sn, confirme ce que je pensais : pour Sn la plus petite représentation fidèle est de dimension n-1,

Au temps pour moi. Pour m=5, le groupe d'isométrie de l'icosaèdre est A₅xC₂ (qui vérifie évidemment les quelques éléments que j'avais donnés) et non S₅.
Et j'avais oublié de retrancher le -1 de la représentation assez naturelle qui consiste à permuter les vecteurs d'une base de rang n qui laisse invariant un hyperplan.
De plus, il est clair que N(m) pour les S_m tend vers +infini quand m tend vers l'infini puisque tout groupe peut s'injecter dans un de ces groupes.
Maintenant, ça serait mieux qu'une source wikipedia pour être sûr de ce résultat mais il semble tout à fait crédible.
Ça ne semble pas évident à montrer. Tu n'as pas d'autres précisions sur ton exercice fulliculli ?

[invite7c6483e1]

bah non je n'ai pas vraiment plus d'indications ... On me demande si on peut trouver une représentation fidèle et que dire de sa dimension minimale ? pour les cas que j'ai cités...

[invitebe0cd90e]

Salut,

A mon avis tout decoule du fait suivant : pour n> 4, toute representation irreductible de dimension >1 de Sn est fidele.

En effet, pour n>4 Sn possede un seul sous groupe distingué (An) et le quotient Sn/An est le groupe cyclique Z2.

Si tu prends une rep irreductible de dim>1 mais non fidele, son noyau est forcement An, donc elle factorise en une representation de Z2. Or, Z2 est abelien, donc ses seules representations irreductibles sont de dimension 1 -> contradiction.

Or, les representations irreductibles de Sn sont "biens connus", mais ca ne s'invente pas

Pour la plus petite representation irreductible est de dimension n-1, d'ou le resultat.

[invite7c6483e1]

Salut Jobhertz
merci pour ta réponse. J'avoue que tout ce qu'a raconté gyu est intéressant mais "trop" dans la théorie des groupes ... Le produit semi-direct n'est pas à mon programme bien que je sache ce que c'est.
Ton argument est super simple et assez intéressant, les représentations irréductibles de sont toutes fidèles dès que leur dimension est plus grande ou égale à 2.
Seulement, je ne connais pas bien les représentations irréductibles de pour n'importe quel ... Je connais bien celles de et . Si j'ai bien compris ta démarche, il serait possible de fabriquer des représentations fidèles à partir de représentations fidèles irréductibles dans le cas de ?

En gros cela soulève une interrogation pour moi: Est-ce que la somme directe (et ensuite le produit tensoriel éventuellement) de deux représentations fidèles est encore fidèle ? Ca semble plausible mais j'ai un peu du mal à concevoir une démonstration.

En effet, si je note et deux représentations fidèles de par exemple. Je veux construire une représentation sur telle que sa restriction à coïncide avec pour . Est-ce que c'est la bonne voie ? Parce que c'est un peu tordu ce que j'ai fait pour fabriquer une représentation fidèle plus grosse avec deux représentations fidèles données par somme directe ...

D'autre part, j'ai un exercice assez proche toujours à propos de représentations fidèles où on me demande de donner deux représentations fidèles mais NON isomorphes du groupe de Klein .

Mon idée est de regarder de manière plus générale les représentations irréductibles du groupe diédral (d'ordre 2n) dont le groupe de Klein est un cas particulier (et comme ça j'étudie aussi un peu ce groupe important) et trouver celles qui sont fidèles.
En gros ce serait le jackpot si je pouvais montrer un théorème de complète réductibilité fidèle des représentations fidèles. En gros que toute représentation fidèle se décompose en représentations irréductibles elles aussi fidèles... C'est la seule idée que j'ai pour répondre ...

ça n'avance pas quoi ...

[invite7c6483e1]

Pour la plus petite representation irreductible est de dimension n-1, d'ou le resultat.

peux-tu me guider pour prouver ce résultat ?

[invitebe0cd90e]

Alors :

- la theorie des representations de Sn est un domaine assez specifique, un tout petit peu pointu, donc ce resultat n'est pas evident, comme je te le disais.
- pour la somme directe, a vue de nez je dirais oui, par contre c'est non pour le produit tensorie. Prend le groupe Z/2Z et sa representation fidele dans C. Si tu tensorises tu retombes sur la representation triviale.

Pour le groupe de Klein, pour trouver une representation fidele dans un certain GLn(C), il suffit de trouver 2 matrices d'ordre exactement 2, (donc differentes de l'identitée), et qui commutent. Le plus simple est de chercher des matrices diagonales (qui dans ce cas commutent forcement). Pour une matrice diagonale, etre d'ordre 2 revient a n'avoir que des 1 ou des -1 sur la diagonale.

ce n'est donc pas difficile d'en fabriquer en toute dimension >1. Notes qu'aucune d'elles ne sera irreductible.

Pour le groupe diedral, ses representations ne sont pas forcement simples a trouver. Et le groupe de Klein en est un cas trop particulier, puisque il est abelien.

[invite52487760]

Salut :

Si je peux me permettre de déterrer cet ancien fil, parce que je viens de voir une piste plus simple pour s'orienter dans le bon sens par rapport à l'exercice, là voici :

Sauf erreur de ma part, on a une représentation fidèle : avec un groupe fini, disons d'ordre : , alors pour trouver minimale, il suffit de voir que se donner revient à se donner de manière unique un morphisme : qui fait de un - module et qui est un prolongement linéaire de . Autrement dit, est le plus petit - module contenant qui rend fidèle ( i.e : injective ). Puisque est de dimension : , alors, pour que : soit minimale gardant injective, il suffit que : soit le plus petit entier vérifiant : , c'est à dire que : . Alors, vous pouvez chercher qui vérifie cette équation.

J'espère que tout ce que j'ai dit est correct, sinon, veuillez me pardonner pour les erreurs que j'ai fait.

Cordialement.

[invite52487760]

... Il suffit que soit le plus petit entier vérifiant : et soit un entier, j'ai oublié ça. A vous de déduire la bonne équation à l'aide de l'arithmétique.