injective.... ou pas!

[Kashix]

Bonjour Messieurs – Dames!

J'ai un petit soucis, je bloque (bêtement j'imagine) sur un exo:

Voilà mon problème:

a) On pose f: ]0;+∞[→R+ avec f(x)=x+ 1/x.
Montrer que f n'est pas injective!

b) On pose g: [+1;+∞[→R+ avec g(x)=x+ 1/x.
Montrer que g EST injective mais pas surjective!

Voilà ce que j'ai fais:

a) Existe t'il x € à ]0;+∞[ tel que f(x)=y avec y € R+

f(x)=y
x+ 1/x=y
x² +1=xy
x²-xy+1=0

Δ=b²-4ac= (-y)²-4

_si y=2, Δ=0: une solution x=y/2 =1
_si y<2, Δ<0: pas de solutions réelles
_si y>2, Δ>0: deux solutions: x= (y- Δ^½)/2 et x= (y+ Δ^½)/2 >0

Donc f est injective!
b) Problème: comment montrer que x= (y- Δ^½)/2 est positif?
Que faire sur [+1;+∞[, je ne vois pas de différences majeures!

Merci de votre aide!
-----

[Thorin]

Pour la a), il faut conclure que f n'est pas injective, ceci parce que comme tu l'as montré, pour y>2, on peut trouver deux antécédents distincts !
Mais ce n'était pas la peine de faire tout ce raisonnement.
Pour montrer qu'une fonction n'est pas injective, il suffit de trouver a et b tels que f(a)=f(b).
Et bien là, on voit facilement que f(0,5)=f(2)

[Thorin]

Je ne suis pas persuadé que tu voies bien comment est ta fonction.

Tu devrais la tracer sur ta calculette, et tu verras que si on prend ]0, infini[ comme ensemble de définition, alors, la fonction passe 2fois sur beaucoup de valeurs.
En revanche, si on ne prend que [1,+infini[, elle ne passe jamais plus de deux fois sur la même valeur.

Pour démontrer qu'elle est injective, il suffit de résoudre :
f(x)=f(y)
x+(1/x)=y+(1/y)
x-y=(x-y)/(xy)
-si x n'est pas égal à y, on a alors :
1=1/(xy), et donc x=1/y. Or, vu que x et y sont tous les deux plus grands que 1, on est bien d'accord que l'un ne peut pas être l'inverse de l'autre !
Donc, la seule solution possible est que x=y.
donc, f est injective...

[Kashix]

Mmh, voyons voir...
Alors comme ça f(0,5)= f(2)!

Pour pas voir ça c'est que je commence vraiment à être fatigué!

Les vacances vont faire du bien!

Et bien je vais essayer de continuer comme un grand, merci tout plein et joyeux noel!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Si tu vux raisonner, pour la b), avec ton discriminant, et ton x=(y-racine_de_delta)/2, ce qui faut, c'est montrer que x<1. En effet, si tu montres ça, tu auras montré que y n'admet au plus qu'un seul antécédent dans [1,+infini[.

et montrer que x<1, c'est juste une inégalité à montrer.

Pour montrer que la fonction n'est pas surjective, ça provient du fait que quand y<2, le discriminant est nul...je te laisse y réfléchir.

[Kashix]

Et ta démo est un chouia plus simple que la mienne, on évite de s'embêter à chercher le signe des racines!

[Kashix]

Ok merci bien!

[thepasboss]

bonsoir,

Une petite étude des variations de la fonction ne suffit-elle pas pour conclure très rapidement ?

[Kashix]

Pour l'étude du signe on a:
Dériveé: 1- 1/x², strictement positive sur [+1;+∞[!

Donc g est strictement croissante sur [+1;+∞[.
g(1)=0 donc toutes les images sont positives.

Mais je ne pense pas que ça m'avance beaucoup non?

En revanche, Thorin a raison pour démontrer que g est injective, c'est le moyen le plus simple!

Pour montrer qu'elle est surjective, on reprend le trinome:

Si y=2, une solution x=1, dans l'intervalle!
Si y >2, on a les deux racines que j'ai trouvé, sachant que:

y>2
y²>4
y²-4>0
(y²-4)^½>0 (1)

On a toujours y>2 (2)

(1)+(2): y +(y²-4)^½>2

(y +(y²-4)^½)/2>1

Donc au moins une solution dans l'intervalle!

Donc g est surjective!

[Kashix]

Ah non je me suis planté en beauté.
Car pour y<2, effectivement le discriminant est négatif donc les images n'ont pas d'antécédents ce qui suffit pour affirmer que g n'est PAS surjective.

[thepasboss]

1- 1/x², strictement positive sur ]+1;+∞[
Donc g est strictement croissante sur [+1;+∞[

Donc g est injective sur [+1;+∞[. De plus g(1) = 2 (et pas 0 ^^)

Donc par stricte croissance 1 n'as pas d'antécédent par g, donc g n'est pas surjective.

Il me semble que c'est vrai et rapide non ?

[Kashix]

g(1)=0???
Merci de corriger mes âneries!

Oui, je reconnais, ça se tient comme raisonnement, rapide et éfficace!

Je vais tâcher de passer à la suite! Merci beaucoup!

[Kashix]

Et si il y en a qui sont encore un peu charitable? 2 exos plus loin j'ai un autre soucis:

Cette fois les données sont:

Pour les ensembles: C\{1}--->C
_
Pour l'application: f(z)= (z-1)/(1-z) (lire "z barre")

Mêmes soucis: surjective? injective?

On me demande d'abords de montrer que |f(z)|=1, facile en posant z=x+iy!
|f(z)|= |x+iy-1|/|1-x+iy|
= Racine[((x-1)²+y²)/((1-x)²+y²)]=...=racine[1]=1

Je dois en déduire que f est ou n'est pas surjective!

On remarque facilement que 0 d'antécédent donc à priori elle n'est pas surjective mais je ne fais pas le lien avec la question précédente!

Bon, après on me demande de résoudre f(z)=1:
f(z)=1
_
(z-1)/(1-z)=1
_
z-1=1-z
_
z+z=2
(x+iy)+(x-iy)=2
2x=2
x=1

d'où z=1 donc pas de solution dans l'intervalle!

De là à en déduire qu'elle est injective!

J'ai essayé de résoudre
_
(z-1)/(1-z)=w (avec w complexe) mais je m'en sors pas avec les conjugués!

Pas plus de succès avec:

_ _
(z-1)/(1-z)=(z-w)/(1-w)!

Une idée peut être?

[Kashix]

Escusez moi, petits problème de mise page:

La barre au niveau du z est au dénominateur, à chaque fois, et non pas sur le premier "z" comme elle s'y est mise!

[thepasboss]

En fait dans ton calcul tu montres que f(z)=1 <=> Re(z)=1. Et donc tout complexe de la forme 1+ iy avec y réel quelconque non nul vérifie :
f(1 + iy)=1 et donc f n'est pas injective.

Sinon pour déduire de la première question que f n'est pas surjective, il suffit de dire que l'image de C-{1} par f est inclut dans le cercle unité et donc tout complexe situé en dehors du dit cercle (c'est à dire tout complexe de norme différente de 1) n'a pas d'antécédents par f.

Voila ^^

[Kashix]

Ok, merci, je suis reparti!

[Jeanne997]

Bonjour,

J'ai quelques difficultés à résoudre mon exercice de maths.
J'ai la même application que plus haut. C'est-à-dire f(z)=(z-1)/(1-z) (le 2ème z est à lire "z barre")

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On me demande tout d'abord de déterminer l'ensemble de définition D de f.

J'ai fait:
z appartient à Df <=> z-1>0 et 1-z(barre)>0
J'obtient: z>1 et a(barre)>-1

Mais après je bloque. Est ce que je suis bien partie? Comment continuer?

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Ensuite, je dois démontrer que f(a)=f(b) <=> (a-1)/(b-1) appartient aux Réels.

Sachant que a et b sont 2 nombres différents de 1, et A, B et I sont les points de plan complexe d'affixes respectives a, b et 1.

Et je dois en déduire une condition géométrique suffisante portant les points A, B et I pour que: f(a)=f(b).

Et là, je bloque complètement. J'ai bien essayé de faire quelque chose au moins pour la première partie de la question avec l'équivalence mais j'ai beaucoup de mal.

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Si l'un de vous pouvais m'aider à résoudre ces problèmes, ça m'avancerais pas mal et permettrais de me débloquer pour la suite de mon exercice.
Merci

[gg0]

Bonsoir.

On me demande tout d'abord de déterminer l'ensemble de définition D de f.

J'ai fait:
z appartient à Df <=> z-1>0 et 1-z(barre)>0

Pourquoi ?

[Jeanne997]

f(z)=(z-1)/(1-zbarre)
Donc pour déterminer l'ensemble de définition D de f, il ne faut pas que le numérateur ou le dénominateur soit égal à 0.
D'où z-1>0 et 1-zbarre>0.

Je ne dis pas que c'est juste. Mais dans ce cas, je ne vois pas du tout comment commencer pour déterminer l'ensemble de définition de f.

[Tryss2]

Pourquoi le numérateur ne pourrait pas être égal à zéro? D'autre part, ça veut dire quoi pour toi que z-1>0 quand z est un nombre complexe? Et comment tu passes de "z-1 différent de 0" à "z-1>0"?

[Jeanne997]

C'est justement la que ça me pose un problème. Je trouve cela bizarre en effet.
Dans un autre exercice je devais déterminer un ensemble de définition et j'avais fait ça mais c'était avec des x (donc des réels). Je ne vois pas a quoi ça correspond avec des complexes.
C'est d'ailleurs pour cela que je recherche un peu d'aide pour pouvoir débloquer cette question et celle qui suit! 😉
Je vous remercie pour vos réponses.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Donc pour déterminer l'ensemble de définition D de f, il ne faut pas que le numérateur ou le dénominateur soit égal à 0.
D'où z-1>0 et 1-zbarre>0.

Si l'on était dans , ne veut pas dire . Et puis de toute manière on est dans , donc va falloir expliciter ta relation d'ordre dont l'énoncé ne parle pas du tout.

Et puis cela est en doublon avec un autre fil que tu viens d'ouvrir ce soir.

Cordialement