Application injective.
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Application injective.



  1. #1
    invite0c5534f5

    Application injective.


    ------

    Salut,

    Une application injective est définie comme étant une application qui admet au plus un antécédent d'une image par elle même.(donc 1 ou 0 image)
    Mais le problème c'est qu'une application associe à un élément(antécédent) de départ un et un seul élément d'arrivé (image). Donc pour une application (et même pour une fonction !) une image a toujours un antécédent. Ce qui pose problème avec la définition d'application injective....

    Merci de m'expliquer.

    -----

  2. #2
    invite7ffe9b6a

    Re : Application injective.

    Une application f:A--> B est injective si f(x)=f(y) implique x=y.

    Autrement dit, si pour tout y dans B, l'equation f(x)=y admet au plus 1 solution dans A.

    Voilà comment on pourrait représenter :
    -une injection de A dans B
    les points sont des elements, les fleches représente f.





    De maniere générale , si il y a egalité , f est surjective.

  3. #3
    invitebb921944

    Re : Application injective.

    Bonjour,
    Une application injective est définie comme étant une application qui admet au plus un antécédent d'une image par elle même.(donc 1 ou 0 image)
    C'est relativement mal formulé.
    Une application injective f est une application telle que tout élément de l'image de f admet au plus un antécédent par f.

    Donc pour une application (et même pour une fonction !) une image a toujours un antécédent
    Oui mais elle peut en avoir plusieurs.

    On peut prendre par exemple la fonction définie sur pour laquelle le nombre 4 possède deux antécédents (2 et -2).
    Cette application n'est pas injective.

  4. #4
    invite0c5534f5

    Re : Application injective.

    Oui je suis d'accord avec ce que vous dites.
    Mais ce que je ne comprend pas c'est , d'après la définition d'une application injective une image peut ne pas avoir d'antécédent. Alors que d'après la définition d'une application ce n'est pas possible !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite7ffe9b6a

    Re : Application injective.

    si

    une application definit de A dans B.

    cela veut dire que à chaque element de A, on associe un element de B.

    Mais f(A) = l'ensemble des f(a) tels que a est dans A
    autrement l'ensemble des "valeurs" prises par l'application est INCLUS dans B.
    Cette inclusion peut etre stricte.

    Par exemple l'application f:N-->R qui a n associe (-1)^n est bien definit mais f(N)={-1,1} est clairement different de R

  7. #6
    invite7ffe9b6a

    Re : Application injective.

    Voilà comment on pourrait représenter :
    -une injection de A dans B
    les points sont des elements, les fleches représente f.

    (EDIT: les ensembles A et B changent à chaque dessin)



    -une surjection de A dans B



    -Une bijection de A dans B


  8. #7
    invite0c5534f5

    Re : Application injective.

    Citation Envoyé par Antho07 Voir le message
    si

    une application definit de A dans B.

    cela veut dire que à chaque element de A, on associe un element de B.

    Mais f(A) = l'ensemble des f(a) tels que a est dans A
    autrement l'ensemble des "valeurs" prises par l'application est INCLUS dans B.
    Cette inclusion peut etre stricte.

    Par exemple l'application f:N-->R qui a n associe (-1)^n est bien definit mais f(N)={-1,1} est clairement different de R
    Ah d'accord je crois avoir compris.
    En fait B est remplit d'éléments et f fait associer des éléments de A à des éléments de B.
    Moi je pensais que f créait les éléments de B à partir de ceux de A

  9. #8
    invite00970985

    Re : Application injective.

    pour compléter : un exemple un peu plus "réel" : si tu prend l'application f(x)=x².

    Suivant comment tu prends tes ensembles de départ et d'arrivée, tu peux avoir toutes les configuration :
    Si ces ensembles sont : R -> R, ton application n'est rien du tout : 4 (dans l'ensemble d'arrivée) a 2 antécédents {2,-2} (dans l'ensemble de départ), donc elle n'est pas injective. -1 n'a pas d'antécédent (pas dans R en tout cas), donc elle n'est pas surjective.

    R+-> R : ton application est injective : y²=x² (dans l'ensemble d'arrivée) entraine y=x (x et y sont dans l'ensemble de départ R+ et donc x>0 et y>0) ; -1 n'a toujour pas d'antécédent.

    R->R+ : ton est application n'est pas injective (cf l'argument pour R->R). Ton application est surjective : si tu prends un y dans l'ensemble d'arrivée (R+), tu peux lui trouver un antédent : sa racine (qui est définie car x>0)

    R+->R+ : ton application est bijective (ie : injective et surjective) : tu as toujours x²=y² => x=y et à tout élément y de R+ (l'ensemble d'arrivée) tu as un antécédent par f : racine(y).

    Comme quoi cette notion dépend énormément des ensembles de départ et arrivée et montre qu'une fonction, ce n'est pas qu'un procédé de calcul, mais 2 ensembles (départ/arrivé) ET un procédé de calcul (par exemple f(x)=x²)

  10. #9
    invite0c5534f5

    Re : Application injective.

    Ok, mais y a un truc que je comprend pas.
    f application de E dans F
    Dans mon cours j'ai et
    Pourquoi on met pas des équivalents au lieu des impliques ?

  11. #10
    invite7ffe9b6a

    Re : Application injective.

    parce que l'autre coté est évident.
    On a toujours si x=y, f(x)=f(y), ce qui est important c'est que dans l'injectivité on a aussi l'autre sens. Si tu veux mettre des équivalences tu peux

  12. #11
    invite00970985

    Re : Application injective.

    au passage ce sont les mêmes, l'une étant la contraposée de l'autre :
    Si (A => B)
    alors (non B => non A)

    (mais absolument pas (B=>A), c'est absurde!)

    C'est un raisonement qui te servira beaucoup en algèbre !

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