Salut,
Une application injective est définie comme étant une application qui admet au plus un antécédent d'une image par elle même.(donc 1 ou 0 image)
Mais le problème c'est qu'une application associe à un élément(antécédent) de départ un et un seul élément d'arrivé (image). Donc pour une application (et même pour une fonction !) une image a toujours un antécédent. Ce qui pose problème avec la définition d'application injective....
Merci de m'expliquer.
Une application f:A--> B est injective si f(x)=f(y) implique x=y.
Autrement dit, si pour tout y dans B, l'equation f(x)=y admet au plus 1 solution dans A.
Voilà comment on pourrait représenter :
-une injection de A dans B
les points sont des elements, les fleches représente f.
De maniere générale, si il y a egalité , f est surjective.
Bonjour,
C'est relativement mal formulé.Une application injective est définie comme étant une application qui admet au plus un antécédent d'une image par elle même.(donc 1 ou 0 image)
Une application injective f est une application telle que tout élément de l'image de f admet au plus un antécédent par f.
Oui mais elle peut en avoir plusieurs.Donc pour une application (et même pour une fonction !) une image a toujours un antécédent
On peut prendre par exemple la fonction
Cette application n'est pas injective.
Oui je suis d'accord avec ce que vous dites.
Mais ce que je ne comprend pas c'est , d'après la définition d'une application injective une image peut ne pas avoir d'antécédent. Alors que d'après la définition d'une application ce n'est pas possible !
si
une application definit de A dans B.
cela veut dire que à chaque element de A, on associe un element de B.
Mais f(A) = l'ensemble des f(a) tels que a est dans A
autrement l'ensemble des "valeurs" prises par l'application est INCLUS dans B.
Cette inclusion peut etre stricte.
Par exemple l'application f:N-->R qui a n associe (-1)^n est bien definit mais f(N)={-1,1} est clairement different de R
Voilà comment on pourrait représenter :
-une injection de A dans B
les points sont des elements, les fleches représente f.
(EDIT: les ensembles A et B changent à chaque dessin)
-une surjection de A dans B
-Une bijection de A dans B
Ah d'accord je crois avoir compris.Envoyé par Antho07
En fait B est remplit d'éléments et f fait associer des éléments de A à des éléments de B.
Moi je pensais que f créait les éléments de B à partir de ceux de A
pour compléter : un exemple un peu plus "réel" : si tu prend l'application f(x)=x².
Suivant comment tu prends tes ensembles de départ et d'arrivée, tu peux avoir toutes les configuration :
Si ces ensembles sont : R -> R, ton application n'est rien du tout : 4 (dans l'ensemble d'arrivée) a 2 antécédents {2,-2} (dans l'ensemble de départ), donc elle n'est pas injective. -1 n'a pas d'antécédent (pas dans R en tout cas), donc elle n'est pas surjective.
R+-> R : ton application est injective : y²=x² (dans l'ensemble d'arrivée) entraine y=x (x et y sont dans l'ensemble de départ R+ et donc x>0 et y>0) ; -1 n'a toujour pas d'antécédent.
R->R+ : ton est application n'est pas injective (cf l'argument pour R->R). Ton application est surjective : si tu prends un y dans l'ensemble d'arrivée (R+), tu peux lui trouver un antédent : sa racine (qui est définie car x>0)
R+->R+ : ton application est bijective (ie : injective et surjective) : tu as toujours x²=y² => x=y et à tout élément y de R+ (l'ensemble d'arrivée) tu as un antécédent par f : racine(y).
Comme quoi cette notion dépend énormément des ensembles de départ et arrivée et montre qu'une fonction, ce n'est pas qu'un procédé de calcul, mais 2 ensembles (départ/arrivé) ET un procédé de calcul (par exemple f(x)=x²)
Ok, mais y a un truc que je comprend pas.
f application de E dans F
Dans mon cours j'ai
Pourquoi on met pas des équivalents au lieu des impliques ?
parce que l'autre coté est évident.
On a toujours si x=y, f(x)=f(y), ce qui est important c'est que dans l'injectivité on a aussi l'autre sens. Si tu veux mettre des équivalences tu peux
au passage ce sont les mêmes, l'une étant la contraposée de l'autre :
Si (A => B)
alors (non B => non A)
(mais absolument pas (B=>A), c'est absurde!)
C'est un raisonement qui te servira beaucoup en algèbre !
