convergence et équivalent de série

[matilo]

bonjour ,
en préparation a l'oral ,je fais une exercice sur les série numériques ,nous venons de voir le cour
Pour commencer sur des bonnes bases et éviter d'avoir faux sur le reste de l'exercice,voici les 2 1eres questions :
Quelle est la nature de la série de terme général


puis en encadrant par des intégrales ,donner un équivalent de en
pour la nature j'ai essayé 2 méthodes:
la 1ere c'est la suite des sommes partielles , ,j'ai trouvé que cette suite est croissante ,mais je n'arrive pas a trouver si elle est minorée ou majorée,je pourrais en déduire qu'elle est oui ou non convergente et donc que la série est oui ou non convergente.
la 2eme méthode :je remarque que la série defini par la terme général est de même nature que qui si elle est convergente entraine la convergence de la série ,mais je n'arrive pas a montrer sa convergence

pour la 2eme question ,je la trouve plus delicate ,il faut bien faire la différence entre intégrale et somme ect...je n'ai pas d'idée pour la majoration et pour une bonne rédaction
merci de votre aide
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[sebsheep]

Déjà petite précision :

la suite des sommes partielles

se dit plutot la somme partielle (d'ordre n) tout simplement.

Ensuite pour les séries, tenter d'utiliser le critère croissant+majoré est souvent peu fructeux.

Effectivement, pour ta 2eme méthode, la serie est équivalente à l'intégrale. Comment fais tu pour montrer la convergence d'une intégrale comme celle la? => Un équivalent!.
En fait avec une série, si le terme général est de signe constant (à partir d'un rang n>0 eventuellement) tu peux utiliser un équivalent sans te poser plus de question.

Après pour l'encadrement avec 2 intégrales, tu le verras bientot en cours je pense mais ce n'est pas sorcier : On pose f(t) = arctan(1/t).
Donc tu as : f(n) > u_n > f(n+1). (inégalités larges)
En intégrant ca sur [n,n+1], puis en sommant, tu arrives facilement à l'encadrement.

[God's Breath]

Déjà et la série diverge.

Il serait plus judicieux de s'orienter vers , puis d'évaluer l'intégrale pour obtenir un équivalent simple.

A moins que tu ne disposes d'un théorème te permettant de déduire, de , que ...

[sebsheep]

Je rectifie mon dernier paragraphe qui n'est pas tres juste :

Après pour l'encadrement avec 2 intégrales, tu le verras bientot en cours je pense mais ce n'est pas sorcier : On pose f(t) = arctan(1/t).
Donc tu as : u_n > f(t) > u_n+1 pour t dans [n,n+1]. (inégalités larges)
En intégrant ca sur [n,n+1], tu as un encadrement par u_n et u_n+1 de l'intégrale de f sur [n,n+1], tu peux donc déduire un encadrement de ton intégrale par u_n, puis en sommant, tu arrives facilement à l'encadrement que tu veux

[A voir en vidéo sur Futura]

[matilo]

je regarde la ere question et je me dis que pour montrer l'équivalent 1/n je peux faire un DL a l'ordre 1 ou 2 asymptotique en x qui revient a un DL en 0 pour 1/x et je deduis l'équivalent à l'infini puis ensuite j'integre et par théoreme de comparaison je dois donc trouver que l'intégrale est divergente (d'apres ce qui a été dit) et donc que la série diverge ect
je me penche sur la 2eme question

[matilo]

Je rectifie mon dernier paragraphe qui n'est pas tres juste :

Après pour l'encadrement avec 2 intégrales, tu le verras bientot en cours je pense mais ce n'est pas sorcier : On pose f(t) = arctan(1/t).
Donc tu as : u_n > f(t) > u_n+1 pour t dans [n,n+1]. (inégalités larges)

si je pose plutot f(n)=arctan (1/n) car le fait de choisir t comme variable me gêne un peu ,ou plutot je ne comprends pas le sens ,la différence entre n et t !! et comme 1/n est décroissante je pense que l'inégalité est inversée

[matilo]

non en fait j'avoue ne pas comprendre le sens de l'encadrement si un<f(t) <un+1 ,j'integre puis je dois sommer ,les termes employés m'embrouille un peu car parfois on se sert de terme somme pour désigner une integrale ect...

[sebsheep]

Non, ne pose pas f(n), garde le t.
Ce que je fais dans l'inégalité, c'est que je prend t dans [n,n+1] (je l'ai déjà marqué mais c'est qui est vraiment important, donc je le souligne). vu que ta fonction est décroissante, tu as : . Mais si tu regardes comment f est définie, tu as : f(n) = un (et donc f(n+1) = u_n+1).
Et donc :

Intègre déjà cette inégalité de n à n+1
En calculant explicitement et , tu devrais obtenir qqch d'agréable.(c'est évident, mais ca peut t'aider : n-(n+1) = 1, et u_n ne dépend pas de t).

[gdm]

je vois un peu plus j'essaie cela:c'était le f(n)=Un que je n'avais pas vu en fait ,du coup le reste decoule plus facilement

[sebsheep]

hum ... matilo et gdm sont les mm personnes ? dédoublement de personnalité? C'est grave docteur?

[gdm]

dans la même classe =) sur le même exo a faire

[sebsheep]

mais dites moi ... des prépas ca a le temps d'aller sur internet ??

Mais où va le monde ?? Les faqueux ne sont plus les seuls à pouvoir glandouiller impunement sur le net ??

[gdm]

on pourrait dire que c'est paradoxale ,mais moi perso comparé a mon camarade je passe plus de temps sur futura et donc sur internet ,mais uniquement pour le travail! souvent pour chercher des imformations ou des aides pour des détails dans les DL surtout lorsque je peux pas voir el sprofs ,long week end et vacances sinon pendant la semaines jy suis plus rarement!
bonne journée