Quelques questions pour comprendre l'axiome du choix ... et le paradoxe de B-T

[invited5b2473a]

Salut tout le monde.
Romain29, l'axiome du choix a plusieurs définitions (et même plusieurs formes équivalentes). Celle que je t'ai donnée n'est certes pas formelle mais est claire tout en étant complète. Si tu veux, je peux t'en donner une formelle (qui introduit la notion de fonction de choix).
Pour la relation d'ordre de divisibilité, en gros, x est plus petit que y si x divise y. Ajoutons qu'à la différence de la relation d'ordre naturelle sur les réels, la divibilité est une relation d'ordre partielle. En effet, considère 3 et 5: 3 5 et 5 3. Donc on ne peut pas comparer 3 et 5 (alors que pour la relation d'odre naturelle, on a bien 3 5).
Enfin, la cerise sur le gateau: tu sais sûrement ce qu'est le plus petit élément? Par exemple, dans muni de la relation d'ordre naturelle, 0 est le plus petit élément (pour tout entier positif n, n 0). Mais connais-tu les éléments minimaux??? Un élément minimal a est tel que tu as l'implication suivante: si x est inférieur à a alors x=a.
Ainsi, dans muni de la divisibilité, les élément minimaux sont les nombres premiers. (Soit p un nombre premier, si x est un entier divisant p, alors nécessairement x=p).
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[invite9c9b9968]

Plus intuitivement : un élément minimal x est tel que si on prend y quelconque, soit x et y sont incomparables (par exemple 3 et 5 pour la divisibilité), soit ils le sont et l'on est alors sûr que x est plus petit que y.

La différence avec minimum vient du fait que dans ce dernier cas on peut le comparer avec tous les éléments de l'ensemble, alors que l'élément minimal, du fait de l'ordre seulement partiel, n'est pas comparable à tous les éléments.

[invited5b2473a]

Désolé pour les erreurs de signe dans mon dernier post! J'ai pas fait attention

[invite3292a73c]

je fais une recherche pour un DM et je suis tombée sur votre discution qui m'interresse beaucoup.
en effet j'ai besoin de montrer que tout sous espace vectoriel d'un ev quelconque admet au moins un supplementaire dans l'ev.
J'ai donc besoin du lemme de zorn (axiome de choix) mais je n'arrive pas a m'en servir

[invite3292a73c]

vous repndez tous a romain a sa question sur les ensembles ordonnés, mais qu'est ce qu'une partie ordonnées maximale?

[invitee65b1c3d]

vous repndez tous a romain a sa question sur les ensembles ordonnés, mais qu'est ce qu'une partie ordonnées maximale?

Il y a un ordre sur les parties de X (l'inclusion) qui est différent de l'ordre sur X.
On s'intéresse en fait à l'existence de parties totalement ordonnées maximale.

Une partie totalement ordonnée maximale Y est une partie de X telle que la restriction de l'ordre de X à Y est un ordre total et Y est maximale pour la relation d'inclusion (qui est aussi une relation d'ordre. ATTENTION à ne pas confondre les deux ordres utilisés : l'ordre sur X et l'ordre (l'inclusion) sur P(X) ).


Une partie totalement ordonnée maximale Y est donc un élément maximal de l'ensemble {Z /Z est une partie de X et la restriction de l'ordre de X a Z est un ordre total} munie de la relation d'ordre "inclusion".

[invite3292a73c]

alors cet axiome ne va pas m'etre utile pour ma demo?

[invitee65b1c3d]

alors cet axiome ne va pas m'etre utile pour ma demo?

Si, cet axiome est indipensable : dans la théorie des ensembles privé de l'axiome du choix, il n'est pas possible de montrer que "tout sous espace vectoriel d'un ev quelconque admet au moins un supplementaire dans l'ev".

Il est donc nécessaire d'utiliser l'axiome du choix quelquepart dans la démonstration.

Ce qu'il faut trouver, c'est :
Qu'est ce que tu va prendre comme X ?
Quelle relation d'ordre mettra tu sur X ?