[Sup] Fonction convexe Interpretation géométrique

[mimo13]

Bonsoir

Je souhaiterai avoir votre avis en ce qui concerne un petit exercice sur les fonctions convexes.

Il est demandé de montrer que f, fonction définie de est convexe ssi:

.

L'équivalence est directe en développant le déterminant et en utilisant la caractérisation des 3 pentes.

Cependant, je me suis rappelé que pour montrer que 3 pts du plans sont alignés on montre que ce même déterminant est nul, ce qui me fait pensé à une preuve géométrique, pourtant je ne parviens pas au résultat voulu....

Qu'en pensez vous ?
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[Thorin]

le fait que ton déterminant soit positif signifie, géométriquement, que l'angle orienté (XY,XZ) est compris entre 0 et pi (sauf erreur...);
(avec XY le vecteur allant de (x,f(x)) à (y, f(y))

Or, vu que x<y<z, ca signifie justement que la pente du segment XY est plus faible que celle de XZ.
Ceci retranscrit justement l'inégalité des pentes, et donne donc la convexité.

Autrement dit, ta démonstration EST géométrique, seulement, vu que le cours permet uniquement d'affirmer que l'angle est nul lorsque le déterminant est nul, et ne traite pas les autres cas, il faut le démontrer...