a propos du pseudo inverse

[invite2bc7eda7]

Bonjour à tous,

je suis confronté à un problème autour des pseudo inverses...

On note A un matrice carré de et l'endomorphisme canoniquement associé.

On veut montrer qu'il existe inversible et , inversible telles que où r est le rang de

J'ai essayé d'écrire la matrice de dans la base canonique mais je ne suis pas sur du résultat (et si ça l'est, je n'ai pas vraiment d'explication : ... surement car est stable par ...

Voila, si vous pouviez m'éclaircir un peu

Merci beaucoup,

bonne soirée,

Mystérieux1
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
ce que dit le résultat, c'est qu'une matrice de rang est semblable à une matrice par blocs contenant une matrice inversible d'ordre et des zéros partout ailleurs.
On peut commencer par prendre une base de l'image de , que l'on complète en une base .
On peut donc considérer que le sera la matrice de changement de base de la base canonique vers la base .
Il reste à montrer que la matrice de l'application linéaire associée à dans la nouvelle base a bien la "tête" demandée.

[invite2bc7eda7]

Il reste à montrer que la matrice de l'application linéaire associée à dans la nouvelle base a bien la "tête" demandée.

c'est justement là que je bloque un peu... je ne vois pas en quoi on a bien une matrice par blocs avec que des zeros sauf "en haut à gauche"...

Et une question bête, a quoi correspond cette matrice "en haut à gauche"?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Je considère le cas et, dans , la matrice de rang .
On veut donc montrer qu'il existe une matrice inversible et telle que soit semblable à .

Par similitude, les matrices ont même trace, donc , ce qui contredit l'inversibilité de .

Qu'ai-je raté ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2bc7eda7]

je ne vois pas dans ce cas, à quoi correspond car B est une matrice et la trace est la somme des coefficients diagonaux... (serait-ce la somme des coefficients diagonaux des matrices sur la diagonale? ) et de ce fait l'erreur viendrait de la pour moi...

merci de vos réponses rapides

[invite57a1e779]

Si est non nul, les matrices et n'ont pas même trace, donc ne peuvent pas être semblables.

Tu ne peux donc pas obtenir de matrice convenable en partant de la matrice : l'énoncé est faux.
Il doit y avoir une hypothèse supplémentaire.

[invite2bc7eda7]

j'ai juste oublié de précisé que excusez moi ... (d'ou mon idée de stabilité par de ...)


et aussi, a quoi correspond la fameuse matrice B dans la matrice A?

[invite57a1e779]

j'ai juste oublié de précisé que

Je respire.

Ton problème est de prouver qu'il existe une base dans laquelle l'endomorphisme est de matrice , ce qui signifie
– que tous les éléments de sont des combinaisons linéaires de ;
– que les vecteurs sont éléments de .

Maintenant que l'on sait où chercher la base , il reste à utiliser l'hypothèse pour la trouver.

[invite2bc7eda7]

Maintenant que l'on sait où chercher la base , il reste à utiliser l'hypothèse pour la trouver.

C'etait si pénible que ça sans l'hypothèse?

bah je sais que et sont en somme directe et que est stable par mais je ne m'en sors pas trop...

on cherche les dans (il existe une base de ...) et les dans ... si c'est "juste" c'est en gros ce que j'avais mais je ne comprends pas trop pourquoi surtout le "tous les éléments de sont des CL de "

merci pour vos explications

[invite57a1e779]

je sais que et sont en somme directe

Comment le sais-tu ?
Avec ce résultat, l'exo est plié.

je ne comprends pas trop pourquoi surtout le "tous les éléments de sont des CL de "

Parce que les dernières lignes de la matrice sont nulles.

[invite2bc7eda7]

Comment le sais-tu ?
Avec ce résultat, l'exo est plié.

Je l'ai montré, il suffit d'ecrire et on remarque que et on a qui est une décomposition en somme (non directe) de puis théorème du rang permet de conclure !

et avec cette indication comment c'est plié?

[invite57a1e779]

Je l'ai montré, il suffit d'ecrire et on remarque que

Quelle est l'hypothèse précise : ou ?
Parce que je ne comprends pas pourquoi est élément de .

[invite2bc7eda7]

L'hypothèse qu'on a (et la seule...) est . De ce résultat j'ai montré (on me l'a demandé) que puis qu'on avait une somme directe....

[invite57a1e779]

je sais que et sont en somme directe

Alors, il y a des bases adaptées à cette somme directe.