Décomposition d'un difféomorphisme

[invite292e91f0]

Bonjour, j'ai un petit soucis avec un de mes cours, je n'arrive pas à comprendre l'enchaînement et je finis par me demander si j'ai bien copié :/ Pourtant il me semble avoir fait attention...
On a un difféomorphisme f de R^n et on pose
si
.
On veut montrer que F est .
Pour cela, mon prof écrit où les gi sont C infini. Bon alors déjà je ne suis pas certain d'avoir compris comment il pose ça (j'ai trouvé sur le net un truc un peu similaire pour des applications à support compact... mais pas pour une application plus générale).
Ensuite, mon prof a écrit que . Et là j'ai un problème ! Dans le cas où je trouve un facteur 1/t devant, et dans le cas où t=0 j'ai des dérivées partielles dans tous les sens et je ne vois donc pas comment je peux obtenir ce résultat.
Voilà, j'espère avoir été clair, et que vous pourrez m'aider... merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

N'aurais-tu pas oublié de nous dire que ?


Enuite, si , avec , alors et , et l'on a bien pour non nul.

[invite292e91f0]

Merci pour votre réponse !
Je commence à penser que je suis vraiment mauvais...
Effectivement, pour t non nul ça marche, j'avais oublié de multiplier par t...
Pour t=0 par contre, je ne vois pas. On utilise le fait que f(0)=0 ? Parce que oui, j'avais bien oublié de le dire. Mais je ne vois pas trop ce que ça change...

[invite57a1e779]

En dérivant , on obtient .

En particulier , et de même pour tout , et la différentielle à l'origine est donnée par :
, ce qui est bien lorsque .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite292e91f0]

Effectivement, c'était tout simple ! Je me suis emmêlé en voulant tout faire sans découper en plusieurs étapes... merci !
Et comment peut-on justifier l'existence d'une telle écriture
?

[invite57a1e779]

C'est exactement la décomposition du difféormorphisme.
Je fixe dans , et je définis, pour réel, .

Par composition, est continûment dérivable avec : , et on écrit tout simplement, du fait que est nul (c'est ici que cela sert) :
, et on a la formule voulue en notant .

[invite292e91f0]

C'est beaucoup plus clair, merci.
Par contre, pour penser à procéder de la sorte... vous avez fait comment ? Est-ce que c'est un résultat connu, ou bien suis-je censé penser à poser Phi et à écrire ?

[invite57a1e779]

Dans ce cas particulier, c'est un résultat connu.

Mais la technique de se ramener à une variation avec une fonction auxiliaire est d'un emploi courant.

[invite292e91f0]

D'accord, un résultat et une technique que je vais m'efforcer de retenir, alors... merci encore !