Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples: quelques questions

[invite817e7fd8]

Bonjour à tous,

Je me pose deux questions concernant la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle: si on a une fraction P/Q scindée, pourquoi le numérateur des éléments simples obtenus a-t-il toujours un degré zéro, même si la racine est de multiplicité n >1 ?
Et pourquoi le numérateur d'un élément simple dont le dénominateur est la conjugaison de deux racines complexes de Q est-il toujours au degré 1 (enfin, strictement inférieur au dénominateur ?)

Je ne suis pas encore étudiant dans le supérieur, mais jusqu'ici je n'ai trouvé ni livre ni site qui donne entière satisfaction à ma question. En remerciant d'avance tous ceux qui pourront m'aider....
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[invite2bc7eda7]

Je pense qu'un petit coup d'œil ici http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...9ments_simples peut t'éclaircir un peu les idées

bonne lecture

[invite817e7fd8]

Merci mais j'avais déjà regardé sur wikipedia, j'ai même déniché quelques pdf de cours sur cette matière, mais aucun n'explique réellement les théorèmes ou les fondements qui ont amené à poser que le degré du numérateur doit être inférieur au degré du dénominateur dans les éléments simples. J'ai comme l'impression que c'est une évidence(qui serait algébrique ?) mais au bout du compte je ne la vois pas

[invite57a1e779]

Une décomposition en éléments simples, c'est un peu comme une écriture décimale. On commence par une division euclidienne :

Numériquement : donc , et l'on met en évidence la partie entière, et la partie fractionnaire dont le numérateur est strictement inférieur au dénominateur

De même , donc , et l'on met en évidence un polynôme, la partie entière, et une nouvelle fraction dont le degré du numérateur est strictement inférieur à celui dénominateur.

C'est la dernière fraction obtenue que l'on décompose en éléments simples, et l'on conserve donc la relation entre numérateur et dénominateur. Pour la fraction rationnelle, on a : ; pour l'écriture décimale, au lieu d'utiliser la décomposition en éléments simples qui fait intervenir les facteurs premiers du dénominateur (ici et ), on préfère le développement décimal en série : )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite817e7fd8]

Et donc le degré inférieur permet tout simplement de garder l'inégalité des degrés des polynômes du départ, c'est tout ?
Mais alors, pourquoi les racines de multiplicité k ont strictement un degré 0 à leur numérateur?

[invite57a1e779]

Et donc le degré inférieur permet tout simplement de garder l'inégalité des degrés des polynômes du départ, c'est tout ?
Mais alors, pourquoi les racines de multiplicité k ont strictement un degré 0 à leur numérateur?

C'est exactement comme un développement décimal : dans , les dénominateurs sont des puissances successives de 10, mais les numérateurs sont tous compris entre 0 et 1. Le degré du dénominateur n'intervient pas. De même on peut avoir une série d'éléments simples avec des dénominateurs qui sont des puissances de , les numérateurs seront tous de degré au plus 1. Cela provient de l'écriture de divisions successives par .

Par exemple :
, donc
puis
, donc et

[invite817e7fd8]

Merci beaucoup, je viens d'avoir le déclic... je vais encore un petit peu ruminer tout cela, y chipoter et tout reviendra à sa place
Tout se base bêtement sur la division euclidienne finalement, et comme dans le secondaire elle est abordée de manière succincte...