Décomposition fraction rationnelle

[invitef8c73274]

Bonjour à tous,
Je bloque sur une décomposition de fraction rationnelle en éléments simples :

Je trouve que ça se décompose sous la forme

Et la détermination de c et d me pose problème car les racines de X²+X+1 ne sont pas imaginaires pures... Comment faire?
Merci d'avance
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[invite5c27c063]

Par exemple, d'apres la fraction non decomposee, XF(X) tend vers 0 quand X tend vers l'infini et en regardant la decomposition ca tend vers b+c donc b+c = 0

Sinon rien n'empeche de decomposer dans C avec les poles simples (en quoi cela gene-t-il qu'ils ne soient pas imaginaires purs ?) puis les ajouter ce qui devrait donner la forme voulue dans R

[invite173dee73]

Dans quel corps travailles tu?

[Arkangelsk]

Bonjour,

Bonjour à tous,
Je bloque sur une décomposition de fraction rationnelle en éléments simples :

Je trouve que ça se décompose sous la forme

Et la détermination de c et d me pose problème car les racines de X²+X+1 ne sont pas imaginaires pures... Comment faire?
Merci d'avance

Il n'est pas obligatoire que les racines soient des imaginaires purs pour pouvoir décomposer en éléments simples. La seule chose concerne les racines : si les racines du dénominateur ne sont pas réelles, celui-ci est irréductible dans , donc le numérateur est de la forme , comme tu l'as écrit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8c73274]

Merci de vos réponses
Okey pour la limite de XF(X) en + l'infini, b+c=0 mais ca fait une équation avec 2 inconnues

[Arkangelsk]

Merci de vos réponses
Okey pour la limite de XF(X) en + l'infini, b+c=0 mais ca fait une équation avec 2 inconnues

Si tu prends la limite de en , ça t'en fait deux, et si tu prends un bien choisi (pour les calculs), ça t'en fait trois, et ...

[invitef8c73274]

merci beaucoup
c'est bon j'ai réussi. Mais j'ai fait pas mal de calcul pour aboutir a b=-1
Je me suis placé dans le cas où X=b, il y avait plus simple?

[Arkangelsk]

merci beaucoup
c'est bon j'ai réussi. Mais j'ai fait pas mal de calcul pour aboutir a b=-1
Je me suis placé dans le cas où X=b, il y avait plus simple?

En prenant (bien choisi ), on a une équation plutôt sympathique. Peux-tu donner ton résultat ici ?

[invitef8c73274]

Bonjour
En récapitulant,
j'ai trouvé que b+c=0 en étudiant la limite de XF(X) en plus l'infini
puis déterminé d en étudiant la limite de X².F(X) en 0 : d=0
et après j'ai calculé X².F(X) dans le cas ou X=b en sachant que c=-b ce qui m'amène b=-1 donc c=1

Par contre je n'ai pas bien compris votre méthode, quand on se place dans le cas où x=-1 et qu'on remplace dans l'expression de F ca amène l'équation b+c=0 déjà trouvée, je me trompe?

[Arkangelsk]

Bonjour
En récapitulant,
j'ai trouvé que b+c=0 en étudiant la limite de XF(X) en plus l'infini
puis déterminé d en étudiant la limite de X².F(X) en 0 : d=0
et après j'ai calculé X².F(X) dans le cas ou X=b en sachant que c=-b ce qui m'amène b=-1 donc c=1

Par contre je n'ai pas bien compris votre méthode, quand on se place dans le cas où x=-1 et qu'on remplace dans l'expression de F ca amène l'équation b+c=0 déjà trouvée, je me trompe?

Pour le résultat, c'est bien ça. Pour , je n'avais pas vu que tu retombais sur l'une de tes équations . La "méthode" consiste tout simplement à prendre des qui te donnent des équations simples à résoudre, comme pour entre autres... Et en fait partie.

[invite17f34d92]

salut!pourriez-vous m'aider a factoriser se plolynome?
[x][/4]-2[x][/3]-[x][2]+2x+10
merci d avance.

[invite17f34d92]

salut!pourriez-vous m'aider a factoriser se plolynome dans R?
X^4-2X^3-X^2+2x+10
merci d avance.

[invite4eac1b14]

tu peux utiliser la division de 1 par (X^2+X+1) suivant les puissances croissantes et puis tu divises tous les membres par X^2 tu obtiendras directement la solution et tu auras b=-1; c=1 et d=0