probleme sur la fonction de repartition

[invitecfa18a8e]

Bonjour,
Pourriez vous m'aider a résoudre cet exercice

Soit X une v.a de loi exponentielle de fonction de répartition :
F(x)= 1- exp(-x) pour x0
F(x)= 0 sinon
IL faut déterminer la loi de probabilité de la v.a Y=F(X)

D'habitude on procède par changement de variable entre Y et X, mais dans cette situation je ne comprend pas du tout.
J'attend impatiemment votre aide
merci
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[invite2e5fadca]

Bon ma résolution va te paraitre complexe mais bon. En fait la réponse est que F(X) suit une loi uniforme sur [0,1]. Démontrons le.

Soit X une variable aléatoire admettant une fonction de répartition continue que l'on note F. Montrons que F(X) suit une loi U([0,1]).

On pose pour t dans R :

Montrons que .

On a par définition

Réciproquement, supposons par l'absurde que . Alors comme est continue, on peut trouver petit tel que . Mais ceci implique que , ce qui est absurde.

Montrons l'égalité

Si w est dans , alors , et donc, par définition de , on a .

Réciproquement, si w est dans , on a , et il suffit d'appliquer .

Pour conclure :

On se fixe t dans [0,1], et on a :
P(F(X)>t)=P(X>F^{-1}(t))=1-F(F^{-1}(t))=1-t

d'où le résultat.

PS : Je vais essayer de trouver une démonstration plus simple dans ton cas particulier...

[invite2e5fadca]

Dans ton cas qui est plus simple, F est bijective de [0,+infini[ dans [0,1[. Pour t dans [0,1[, on a :



Donc F(X) suit bien une loi uniforme.