fraction rationnelle

[invitee75a2d43]

Salut,

j´essaie de faire un exo sur les séries entières, il s´agit de développer en série entière la fonction suivante:

f(x) = (1+x)/(1-x)^2*(2-x).

Bon, je crois comprendre qu´il faut d´abord transformer la fonction en une fonction du genre:

f(x) = a/(1-x)^2 + b/(2x)

a et b étant réels.

Ca devrait marcher non?

ben je suis trop bête pour trouver un résultat.

Y a-t-il une méthode générale pour développer une fraction rationnelle en une somme de fractions du genre

f(x) = ∑ (An/(x-Xn)

où An est une réel et Xn un pôle de ma fonction d´origine?

Attention, ne complicons pas les choses, je me place maintenant sur IR, pas sur C

merci d´avance
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[invitec314d025]

f(x) = (1+x)/(1-x)^2*(2-x).

Bon, je crois comprendre qu´il faut d´abord transformer la fonction en une fonction du genre:

f(x) = a/(1-x)^2 + b/(2-x)

a et b étant réels.

Ca devrait marcher non?

Non, il te manque un terme en c/(1-x)

[invitee75a2d43]

Non, il te manque un terme en c/(1-x)

Ah bon? a/(1-x)^2 ne suffit pas?

J´vais essayer tout de suite.

[invitec314d025]

Ah bon? a/(1-x)^2 ne suffit pas?

Imagines toi en train d'essayer de décomposer (1+x)/(1-x)² sous la forme a/(1-x)²
Pas facile, facile

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Y a-t-il une méthode générale pour développer une fraction rationnelle en une somme de fractions du genre

f(x) = ∑ (An/(x-Xn)

où An est une réel et Xn un pôle de ma fonction d´origine?

Pour les termes de plus haut degré il existe une méthode très efficace et très facile qui revient en gros à supprimer les pôles pour les transformer en racine.
Concrètement, pour déterminer le terme
où m est le degré du pôle
tu multiplies ton écriture en sommes ainsi que f par . Les pôles en ont "disparus" et tous les autres termes autres que f et admettent désormais comme racine. Tu calcules la limite de quand x tend vers et tu obtiens
Pour les coefficients des degrés inférieurs (un dans ton exemple comme on te l'a appris ou rappelé), plusieurs méthodes. Celle que je préfère (car la plus facile à se mémoriser) est de faire passer les termes déjà calculés à gauche et de recommencer. Dans ton exemple il suffit de faire passer et tu pourras calculer c.

[invite35452583]

Oups. Il faut évidemment lire et non

[invitec314d025]

Mais plus important encore que la méthode, il faut être sûr d'avoir la bonne forme pour la décomposition

[invitee75a2d43]

merci, je vais essayer de comprendre cette méthode et la tester

[invitee75a2d43]

mais une question quand même: dans quelle partie étudie-t-on ce genre de méthode? dans les polynômes?

[invitec314d025]

Généralement on étudie les fractions rationnelles juste après les polynômes oui. Pas que ça présente des difficultés particulières, il suffit de savoir faire une division euclidienne de polynômes et savoir ce que sont deux polynômes premiers entre eux.