calcul du résidu d'une fraction rationnelle

[invite8be94be5]

comment calculer la somme des résidus de la fonction :
f=(2z^5-4z^2+5) / (3z^6-8z+10) ?
Est-ce qu'il faut passer par la division de la fraction rationnelle (je ne me rappelle plus comment on fait, soit dit en passant, d'autant plus que le degré du dénominateur est supérieur à celui du numérateur...) ou une autre solution?
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[invite35452583]

Bonjour et bienvenue,
dificile de calculer les résidus dans ton cas car pour un calcul direct aux pôles il faudrait pouvoir factoriser ton polynôme de degré 6 (ce n'est pas commode), ou un calcul direct le long de lacets bien choisis mais je ne vois pas lequel donnerai un calcul qui aboutit sans facorisation.
Désolé.

[invite4ef352d8]

Salut !


si tu as une fraction rationelle P/Q avec degré de P strictement inférieur a degré de Q, tu peut montrer de facon géneral que la somme des résidu de P/Q est la limite de X*P/Q quand X->l'infinit.


pour cela il y a en gros deux methode :
1)simple : écrire la décomposition en element simple théorique et regarder ce que vaut la limite de X*P/Q
2) plus technique : calculer l'intégral de P/Q sur un cercle de rayon R centré en 0 et faire tendre R vers +l'infinit en utilisant que P/Q = L/X+ o(1/x)

ou L est la limite de XP/Q