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Intégrabilité d'une fraction rationnelle



  1. #1
    Draune

    Intégrabilité d'une fraction rationnelle


    ------

    Bonjour,

    J'ai un petit problème. J'intuite qu'un fraction rationnelle est intégrable si son degrés est strictment inférieur à 1 (degrés de la fraction = degrés du numérateur - degrés du dénominateur) mais je ne vois pas comment le démontrer. Auriez-vous une suggestion?
    Merci d'avance
    Draune

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Coincoin

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Salut,
    Intégrable sur quoi ?
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    Draune

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Sur R, pardon. Et sachant que la fraction est à coefficients dans C, n'a pas de pôle réels (les racines du dénominateur ne sont pas réelles).

    Draune

  5. #4
    shokin

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Une fonction est intégrable.

    Une fraction ? Dériver le quotient de deux fonctions de x ?

    Soit h(x)=f(x)/g(x)

    h'(x) = [f'(x)g(x) - g'(x)f(x)]/[g(x)^2]

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Draune

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Je comprends pas ce que tu me dis Shokin! Je parle d'une fraction rationnelle, ou si tu préfères de la fonction associé à cette fraction rationnelle : polynôme1/polynôme2.
    Draune

  8. #6
    shokin

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Suis-je dans le champs ?

    aurais-tu un exemple de fonction ?

    f(x) = (5x^2 + 3x + 14)/(2x^2 - 4x + 7) par exemple ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  10. #7
    Draune

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Oui par exemple. Mais le racines du dénominateur ne doivent pas être réelles (lis ce qu'il y a au-dessus). Pas exemple X^2-2X+1/(X^2+X+1)
    Draune

  11. #8
    shokin

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Ne peux-tu pas dériver cette fonction comme toute autre fonction, indépendamment de la complexité ou non des racines du dénominateur ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  12. #9
    Draune

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Mais c'est pas dériver que je veux faire : moi je veux INTEGRER!! Et intégrer de - l'infini à +l'infini.
    Draune

  13. #10
    shokin

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Hou... pour trouver l'intégrale de cette fonction...

    f(x)=(x^2 - 2x + 1)/(x^2 + x + 1)

    f(x)=(x^2 + x + 1 -3x)/(x^2 + x + 1)

    f(x)= 1 - (3x)/(x^2 + x + 1)

    Heug... pour intégrer cela... chus pas le spécialiste.

    Une intégration par partie ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  14. #11
    Draune

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Décidemment tu n'as pas lu ce que je veux : je veux pas la calculer l'intégrale (c'est impossible dans la cas général!!). Je veux juste avoir une condition sur le degrés de la fraction pour qu'elle soit intégrable.
    Draune

  15. #12
    shokin

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Heu... j'espère que des personnes pourront t'aider, parce que ce domaine et bien moins le mien.

    http://www.les-mathematiques.net/a/d/a/node2.php3

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  17. #13
    GuYem

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Si ta fraction est de la forme P1/P2, que P2 n'a pas de racines réelles, alors elle est intégrable sur R si et seulement si
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  18. #14
    GuYem

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Moi non plus j'ai pas répondu à ta question! J'ai juste répété le résultat que tu intuites.

    La démo n'est pas dure.
    Tu montres dans un premier temps que la fonction 1/x^n est intégrable en l'infini ssi n>=2, et ensuite tu remarques que ta fraction rationnelle P1/P2 est equivalente en l'infini à une constante fois 1/x^n où n est justement le degré de P1 moins celui de P2.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  19. #15
    Draune

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Oui c'est bien ce que je pensais (je me suis peut-être trompé dans mon premier message!). Mais comment le démontrer? T'as pas une idée?
    Draune

  20. #16
    GuYem

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Citation Envoyé par GuYem
    Moi non plus j'ai pas répondu à ta question! J'ai juste répété le résultat que tu intuites.

    La démo n'est pas dure.
    Tu montres dans un premier temps que la fonction 1/x^n est intégrable en l'infini ssi n>=2, et ensuite tu remarques que ta fraction rationnelle P1/P2 est equivalente en l'infini à une constante fois 1/x^n où n est justement le degré de P1 moins celui de P2.
    Au cas où t'aurais pas vu le message à cause du croisement.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  21. #17
    Draune

    Re : Intégrabilité d'une fraction rationnelle

    Oui j'avais pas vu le message! Merci pour cette info.
    Draune

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