Bonjour,
J'ai un petit problème. J'intuite qu'un fraction rationnelle est intégrable si son degrés est strictment inférieur à 1 (degrés de la fraction = degrés du numérateur - degrés du dénominateur) mais je ne vois pas comment le démontrer. Auriez-vous une suggestion?
Merci d'avance
Draune
Salut,
Intégrable sur quoi ?
Sur R, pardon. Et sachant que la fraction est à coefficients dans C, n'a pas de pôle réels (les racines du dénominateur ne sont pas réelles).
Draune
Une fonction est intégrable.
Une fraction ? Dériver le quotient de deux fonctions de x ?
Soit h(x)=f(x)/g(x)
h'(x) = [f'(x)g(x) - g'(x)f(x)]/[g(x)^2]
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Je comprends pas ce que tu me dis Shokin! Je parle d'une fraction rationnelle, ou si tu préfères de la fonction associé à cette fraction rationnelle : polynôme1/polynôme2.
Draune
Suis-je dans le champs ?
aurais-tu un exemple de fonction ?
f(x) = (5x^2 + 3x + 14)/(2x^2 - 4x + 7) par exemple ?
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Oui par exemple. Mais le racines du dénominateur ne doivent pas être réelles (lis ce qu'il y a au-dessus). Pas exemple X^2-2X+1/(X^2+X+1)
Draune
Ne peux-tu pas dériver cette fonction comme toute autre fonction, indépendamment de la complexité ou non des racines du dénominateur ?
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Mais c'est pas dériver que je veux faire : moi je veux INTEGRER!! Et intégrer de - l'infini à +l'infini.
Draune
Hou... pour trouver l'intégrale de cette fonction...
f(x)=(x^2 - 2x + 1)/(x^2 + x + 1)
f(x)=(x^2 + x + 1 -3x)/(x^2 + x + 1)
f(x)= 1 - (3x)/(x^2 + x + 1)
Heug... pour intégrer cela... chus pas le spécialiste.
Une intégration par partie ?
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Décidemment tu n'as pas lu ce que je veux : je veux pas la calculer l'intégrale (c'est impossible dans la cas général!!). Je veux juste avoir une condition sur le degrés de la fraction pour qu'elle soit intégrable.
Draune
Heu... j'espère que des personnes pourront t'aider, parce que ce domaine et bien moins le mien.
http://www.les-mathematiques.net/a/d/a/node2.php3
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Si ta fraction est de la forme P1/P2, que P2 n'a pas de racines réelles, alors elle est intégrable sur R si et seulement si
Moi non plus j'ai pas répondu à ta question! J'ai juste répété le résultat que tu intuites.
La démo n'est pas dure.
Tu montres dans un premier temps que la fonction 1/x^n est intégrable en l'infini ssi n>=2, et ensuite tu remarques que ta fraction rationnelle P1/P2 est equivalente en l'infini à une constante fois 1/x^n où n est justement le degré de P1 moins celui de P2.
Oui c'est bien ce que je pensais (je me suis peut-être trompé dans mon premier message!). Mais comment le démontrer? T'as pas une idée?
Draune
Au cas où t'aurais pas vu le message à cause du croisement.Envoyé par GuYem
Oui j'avais pas vu le message! Merci pour cette info.
Draune
