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DM sur les fonctions (bio sup)



  1. #1
    yonyon

    DM sur les fonctions (bio sup)


    ------

    Bonjour, j'ai un gros problème avec mon devoir à la maison, je n'arrive pas à commencer les deux exercices, j'ai beau chercher, je ne vois pas comment m'y prendre. Pourriez-vous m'aider? Je panique complètement, c'est pour mardi et il me reste encore plein d'autres choses à faire.
    Merci d'avance

    Exercice 1
    Soit m un réel strictement positif. On considère la fonction définie par:
    f m (x)=arcsin ((x+l)/V(2(x²+m²))
    1) Montrer que fm est bien définie sur R e qu'elle y est continue.
    2) Etudier la dérivabilité de fm, puis montrer que si x différent de m, fm'(x)=((m-x)/|m-x|)(m/(x²+m²)
    3) Etudier les variations de fm, déterminer ses limites aux bornes de R et dresser sontableau de variations.
    4) On considère la fonction gm définie (et dérivable) sur R par gm(x)=arctan (x/m)
    Calculer sa dérivée gm'. En déduire une simplification de fm
    5) Représenter graphiquement, et sommairement, f1, en prenant soin de représenter certains éléments : la tangente au point d'abscisse, les asymptotes et, s'il en existe, les points anguleux.


    Exercice 2
    Soit a, b, c trois réels. On suppose que toutes les expressions où ils apparaissent dans la suite de l'exercice sont bien définies.
    1) Montrer que tan 5 a= (A tan a)/(B tan a) avec A(x)=x^5-10x^3+5x et B(x)=5x^4-10x²+1
    Indication : partir de l'expression de tan (a+b)
    2)Montrer qu'il existe un polynôme Q tel que A-B=(x-1)Q
    3) On suppose désormais alpha =pi/20
    a) En considérant tan (5a), montrer que tan a est une racine de Q
    b) Montrer que les autres racines de Q sont tan (9pi/20), tan (13 pi/20) et tan (17pi/20)
    4) a) Montrer que, pour tout x réel non nul, Q(x)=x²P(x+1/x) où P est un polynôme du second degré que l'on précisera.
    b) Déterminer les racines de P. en déduire les racines de Q.
    c) Déterminer les valeurs exactes de tan (pi/20), tan (9pi/20), tan (13 pi/20) et tan (17pi/20)

    -----

  2. #2
    iwio

    Re : DM sur les fonctions (bio sup)

    arcsin est une fonction definie sur [-1;1]
    tu dois demontrer que (x+l)/V(2(x²+m²) soit compris entre -1 et 1 quelque soit ton x. Pour montrer cela, tu derive et tu fais ton tableau de variation, tu recherche les min et max, et t'étudie les limites en +00 et -00.
    Voila pour la question 1 du 1.

  3. #3
    yonyon

    Re : DM sur les fonctions (bio sup)

    Merci beaucoup, je m'aperçois que j'ai fait une faute de frappe : c'est f m (x)=arcsin ((x+m)/V(2(x²+m²)).

  4. #4
    yonyon

    Re : DM sur les fonctions (bio sup)

    J'ai réussi pour le début : pour l'ensemble de définition, il n'y a pas de pb mais pour la continuité arcsin est continue sur ]-1;1[ mais pas en -1 ni en 1 or pour x=m
    ((x+m)/V(2(x²+m²)) =1 donc comment faire pour montrer que fm est continue sur R?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    yonyon

    Re : DM sur les fonctions (bio sup)

    Merci beaucoup, Je m'en sors pour la continuité, mais ensuite, je n'arrive pas à m'en sortir ensuite dans le calcul de la dérivée, je dois faire une erreur de calcul dans la dérivée de
    ((x+m)/V(2(x²+m²)) mais je ne vois pas où, je l'ai repris trois fois:
    et j'arrive à (3x+m)/(V(2(x²+m²)), est-ce que c'est ça?
    Merci encore

  7. #6
    iwio

    Re : DM sur les fonctions (bio sup)

    Si le V dans ta formule represente une racine carrée, alors je trouve pour la dérivée :

    (2m(1-x)) / (2(x²+m²))3/2
    Je l'ai fais qu'une fois, c'est possible qu'il y ait une erreur.

  8. #7
    yonyon

    Re : DM sur les fonctions (bio sup)

    Merci beaucoup pour votre aide, grâce à cela , j'ai réussi à finir l'exo 1. en ce qui concerne l'exercice 2, je n'arrive pas à trouver Q, j'arrive à A-B=(x-1)^5-2 mais je ne vois pas quoi en faire...
    Merci encore

  9. #8
    yonyon

    Re : DM sur les fonctions (bio sup)

    j'ai finalemant réussi à trouver Q: X^4-4X^3-14X^2-4X+1
    mais je n'arrive pas à faire la question suivante.
    Merci encore

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