Bonjour, j'ai un gros problème avec mon devoir à la maison, je n'arrive pas à commencer les deux exercices, j'ai beau chercher, je ne vois pas comment m'y prendre. Pourriez-vous m'aider? Je panique complètement, c'est pour mardi et il me reste encore plein d'autres choses à faire.
Merci d'avance
Exercice 1
Soit m un réel strictement positif. On considère la fonction définie par:
f m (x)=arcsin ((x+l)/V(2(x²+m²))
1) Montrer que fm est bien définie sur R e qu'elle y est continue.
2) Etudier la dérivabilité de fm, puis montrer que si x différent de m, fm'(x)=((m-x)/|m-x|)(m/(x²+m²)
3) Etudier les variations de fm, déterminer ses limites aux bornes de R et dresser sontableau de variations.
4) On considère la fonction gm définie (et dérivable) sur R par gm(x)=arctan (x/m)
Calculer sa dérivée gm'. En déduire une simplification de fm
5) Représenter graphiquement, et sommairement, f1, en prenant soin de représenter certains éléments : la tangente au point d'abscisse, les asymptotes et, s'il en existe, les points anguleux.
Exercice 2
Soit a, b, c trois réels. On suppose que toutes les expressions où ils apparaissent dans la suite de l'exercice sont bien définies.
1) Montrer que tan 5 a= (A tan a)/(B tan a) avec A(x)=x^5-10x^3+5x et B(x)=5x^4-10x²+1
Indication : partir de l'expression de tan (a+b)
2)Montrer qu'il existe un polynôme Q tel que A-B=(x-1)Q
3) On suppose désormais alpha =pi/20
a) En considérant tan (5a), montrer que tan a est une racine de Q
b) Montrer que les autres racines de Q sont tan (9pi/20), tan (13 pi/20) et tan (17pi/20)
4) a) Montrer que, pour tout x réel non nul, Q(x)=x²P(x+1/x) où P est un polynôme du second degré que l'on précisera.
b) Déterminer les racines de P. en déduire les racines de Q.
c) Déterminer les valeurs exactes de tan (pi/20), tan (9pi/20), tan (13 pi/20) et tan (17pi/20)
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