Problème de géométrie

[inviteb1c22d17]

Bonsoir et merci de m'accueillir sur votre forum
Je vous soumets un problème de géométrie que je n'arrive pas à résoudre car les cours du lycée sont maintenant très lointains.

- On donne un rectangle ABCD et un point I
La perpendiculaire en A à (IC) et celle en B à (ID) se coupent en J
Question : Montrer que (IJ) est orthogonale à (AB).

les aides offertes sur la copie :
Une translation transforme une droite en une droite parallèle
Considérer l'image du point J par la translation de vecteur AD

Voilà. Merci de votre aide !
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[shokin]

Imagine d'abord si I est le centre de gravité du rectangle ABCD et démontre dans ce cas précis que (IJ) est perpendiculaire à (AB)

Imagine que I se déplace parallèlement à la droite (AD), soit sur la droite qui passe par les milieux de [AB] et [CD]. Démontre dans cet ensemble de cas que (IJ) est perpendiculaire à (AB).

Imagine maintenant que I se déplace parallèlement à (AB).

Autres pistes possibles (pas forcément toutes nécessaires ; il doit y avoir plusieurs manières de démontrer) :

- J est à A et B ce que I est à C et D.
- soient K l'intersection de (AJ) et (CI) et L l'intersection de (BJ) et (DI), IJK et IJL sont des triangles rectangles respectivement en K et L donc le quadrilatère IKJL est un quadrilatère compris dans un cercle dont un diamètre est le segment [IJ].
- imagine si A était confondu avec D et B confondu avec C.
- imagine des triangles qui contiennent A, B, C et/ou D. [Les propriétés des hauteurs (notamment (IJ) ) des triangles.]
- angles alternes-internes, alternes-externes, opposés par le sommet, correspondants, sont égaux entre eux.
- démontrer qu'une droite est perpendiculaire à (AB) c'est démontrer que cette même droite est parallèle à (AD).
- théorème de l'angle inscrit.
- si (IJ) n'était pas perpendiculaire à (AB)... (démonstration par l'absurde)...
- si on considérait non seulement les droites (CI), (DI), (AJ) et (BJ), mais aussi celles (CJ), (DJ), (AI) et (BI) et si on les dessinait toutes dans un grand dessin,. ça aiderait à voir la situation de manière globale.
-n'oublie pas les angles d'un rectangle sont tous droits (le problème ne marcherait pas de la même manière si ABCD était un parallélogramme).
- considérons la droite m passant par I et par J et la droite n passant par I et perpendiculaire à AB. Démontrer que m et n sont confondues (qu'elles n'ont pas qu'un point commun).
- Considère et nomme par une lettre toutes les intersections de toutes les droites reliant un sommet du rectangle à I ou J (soient 8 droites).
- Cherche tous les angles droits dont tu peux démontrer qu'ils sont droits.
-...
- fais collaborer toutes ces astuces. Tu trouveras sûrement plusieurs démonstrations.

Shokin