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Problème de géométrie



  1. #1
    stephanois

    Question Problème de géométrie


    ------

    Bonsoir et merci de m'accueillir sur votre forum
    Je vous soumets un problème de géométrie que je n'arrive pas à résoudre car les cours du lycée sont maintenant très lointains.

    - On donne un rectangle ABCD et un point I
    La perpendiculaire en A à (IC) et celle en B à (ID) se coupent en J
    Question : Montrer que (IJ) est orthogonale à (AB).

    les aides offertes sur la copie :
    Une translation transforme une droite en une droite parallèle
    Considérer l'image du point J par la translation de vecteur AD

    Voilà. Merci de votre aide !

    -----

  2. #2
    shokin

    Re : Problème de géométrie

    Imagine d'abord si I est le centre de gravité du rectangle ABCD et démontre dans ce cas précis que (IJ) est perpendiculaire à (AB)

    Imagine que I se déplace parallèlement à la droite (AD), soit sur la droite qui passe par les milieux de [AB] et [CD]. Démontre dans cet ensemble de cas que (IJ) est perpendiculaire à (AB).

    Imagine maintenant que I se déplace parallèlement à (AB).

    Autres pistes possibles (pas forcément toutes nécessaires ; il doit y avoir plusieurs manières de démontrer) :

    - J est à A et B ce que I est à C et D.
    - soient K l'intersection de (AJ) et (CI) et L l'intersection de (BJ) et (DI), IJK et IJL sont des triangles rectangles respectivement en K et L donc le quadrilatère IKJL est un quadrilatère compris dans un cercle dont un diamètre est le segment [IJ].
    - imagine si A était confondu avec D et B confondu avec C.
    - imagine des triangles qui contiennent A, B, C et/ou D. [Les propriétés des hauteurs (notamment (IJ) ) des triangles.]
    - angles alternes-internes, alternes-externes, opposés par le sommet, correspondants, sont égaux entre eux.
    - démontrer qu'une droite est perpendiculaire à (AB) c'est démontrer que cette même droite est parallèle à (AD).
    - théorème de l'angle inscrit.
    - si (IJ) n'était pas perpendiculaire à (AB)... (démonstration par l'absurde)...
    - si on considérait non seulement les droites (CI), (DI), (AJ) et (BJ), mais aussi celles (CJ), (DJ), (AI) et (BI) et si on les dessinait toutes dans un grand dessin,. ça aiderait à voir la situation de manière globale.
    -n'oublie pas les angles d'un rectangle sont tous droits (le problème ne marcherait pas de la même manière si ABCD était un parallélogramme).
    - considérons la droite m passant par I et par J et la droite n passant par I et perpendiculaire à AB. Démontrer que m et n sont confondues (qu'elles n'ont pas qu'un point commun).
    - Considère et nomme par une lettre toutes les intersections de toutes les droites reliant un sommet du rectangle à I ou J (soient 8 droites).
    - Cherche tous les angles droits dont tu peux démontrer qu'ils sont droits.
    -...
    - fais collaborer toutes ces astuces. Tu trouveras sûrement plusieurs démonstrations.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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