Une petite démonstration

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaie de démontrer que, si a et b sont deux nombres > 0 alors il est impossible que a(1 - b) et b(1 - a) soient tous les deux supérieurs à 1/4.

Par l'absurde :

Supposons que b(1-a) et a(1 - b) soient tous deux > 1/4

b(1-b)a(1-a) > 1/16

soit f(x) = x(1 - x) = x - x²
f'(x) = 1 - 2x

donc f à un maxium en f(1/2) = 1/4

La valeur maximale de l'expression :

b(1-b)a(1-a) est 1/16 (lorsque a = b = 1/2) donc l'hypothèse de départ est fausse :

b(1 - a) OU (inclusif) a(1 - b) est < 1/4

Ca vous semble juste ?

merci
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[inviteeac53e14]

Oui &#231;a a l'air juste. D'autres viendront peut-&#234;tre confirmer.

[invite6b1e2c2e]

Faut faire attention avec tes in&#233;galit&#233;s ! Large ou stricte ?
Sinon, c'est bon, et pas mal astucieux. Un probl&#232;me sympa

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rvz

[Bleyblue]

Stricte.

Sinon je trouve ça aussi assez astucieux mais je n'ai aucun mérite, l'astuce a été livrée par l'auteur de mon livre d'analyse dans l'exemple :

Démontrer que :




Je n'ai fait en gros que recopier la technique

Tiens par curiosité, quelqu'un voit-il comment faire pour arriver à démontrer sans utiliser le calcul différentiel ? J'ai essayé durant un bon bout de temps sans résultats ...
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Si x, y et z sont positifs (sinon ça ne marche pas), il me paraît trivial que x²+1 >= 2 x
La relation s'obtient en multipliant par les mêmes inégalités pour y et z. Non ?

[Bleyblue]

Tiens par curiosité, quelqu'un voit-il comment faire pour arriver à démontrer sans utiliser le calcul différentiel ? J'ai essayé durant un bon bout de temps sans résultats ...

Je voulais parler du premier problème (celui avec les a et les b)

Pour celui-ci en effet l'auteur à aussi donné une solution sans utiliser le calcul différentiel (et oui j'ai oublié de préciser x,y,z positifs) en utilisant le fait que x² + 1 >= 2x oui

[inviteeac53e14]

Tiens par curiosité, quelqu'un voit-il comment faire pour arriver à démontrer sans utiliser le calcul différentiel ? J'ai essayé durant un bon bout de temps sans résultats ...
merci

Est-ce qu'on ne pourrait pas faire un truc géométrique avec les barycentres ?
Considérons les points pondérés B et B' d'abscisses respectives b et (1-b) et de poids (1-a) et a. On peut considérer leur barycentre dans la mesure où la somme des poids n'est pas nul. Si on note G leur barycentre alors son abscisse g est :



On veut que

a et b sont strictement positifs. Il est clair que si a et b sont supérieurs ou égal à 1, ce n'est pas possible (sinon (1-a) et (1-b) sont négatifs et donc . Supposons donc a et b inférieurs strictement à 1.

Quand ,le point qui a le poids le plus élevé est B' (en effet : au vu des conditions posées).
Donc, a priori, G est plus proche de B' que de B. Comme on, de plus, veut que , on peut résumer :

Si alors (rappelons que b est compris entre 0 et 1) comme, , G est plus proche de B que de B' .

Quand , alors le point qui a le plus grand poids est B donc G est plus proche de B. Mais en utilisant le même raisonnement que précédemment, on trouve que G est plus proche de B'.

Ainsi, comme nous n'avons utilisé que des inégalités strictes, il ne reste plus que le cas . Dans ce cas-là, G est à égale distance de B et B'. Donc : , ce qui ne correspond à l'hypothèse que l'on avait posée au départ i.e .

Finalement, on n'a jamais : a(1-b) et b(1-a) strictement supérieurs à . CQFD.

D'après vous, le raisonnement que j'ai employé est-il correct?

[inviteeac53e14]

Comme on, de plus, veut que , on peut résumer :

Si alors (rappelons que b est compris entre 0 et 1) comme, , G est plus proche de B que de B' .

J'ai oublié le cas . Dans ce cas-là. On a bien G plus proche de B'. (car . Or comme l'abscisse de G est :
, on peut la majorer par : i.e : . Donc
Il suffit alors de résoudre le système d'inéquations :

qui n'a aucune solution.

[inviteeac53e14]

Il y a un bug ave la commande \leq ; il faut bien entendu lire b inférieur ou égal à 1/2

[inviteeac53e14]

Quand , alors le point qui a le plus grand poids est B donc G est plus proche de B. Mais en utilisant le même raisonnement que précédemment, on trouve que G est plus proche de B'.

Ou un système d'inéquations sans solution.

[invite1f4ba402]

Bonjour, pour démontrer que a(1-a) est inférieur ou égal à 1/4, pas besoin d'utiliser les dérivées.

Il suffit d'écrire que:

(a-1/2)²>=0

et de développer

[inviteeac53e14]

Effectivement c'est beaucoup plus simple!