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Une petite démonstration



  1. #1
    Bleyblue

    Une petite démonstration


    ------

    Bonjour,

    J'essaie de démontrer que, si a et b sont deux nombres > 0 alors il est impossible que a(1 - b) et b(1 - a) soient tous les deux supérieurs à 1/4.

    Par l'absurde :

    Supposons que b(1-a) et a(1 - b) soient tous deux > 1/4

    b(1-b)a(1-a) > 1/16

    soit f(x) = x(1 - x) = x - x²
    f'(x) = 1 - 2x

    donc f à un maxium en f(1/2) = 1/4

    La valeur maximale de l'expression :

    b(1-b)a(1-a) est 1/16 (lorsque a = b = 1/2) donc l'hypothèse de départ est fausse :

    b(1 - a) OU (inclusif) a(1 - b) est < 1/4

    Ca vous semble juste ?

    merci

    -----

  2. #2
    Bloud

    Re : Une petite démonstration

    Oui &#231;a a l'air juste. D'autres viendront peut-&#234;tre confirmer.
    I was born intelligent...education ruined me!

  3. #3
    rvz

    Re : Une petite démonstration

    Faut faire attention avec tes in&#233;galit&#233;s ! Large ou stricte ?
    Sinon, c'est bon, et pas mal astucieux. Un probl&#232;me sympa

    __
    rvz

  4. #4
    Bleyblue

    Re : Une petite démonstration

    Stricte.

    Sinon je trouve ça aussi assez astucieux mais je n'ai aucun mérite, l'astuce a été livrée par l'auteur de mon livre d'analyse dans l'exemple :

    Démontrer que :




    Je n'ai fait en gros que recopier la technique

    Tiens par curiosité, quelqu'un voit-il comment faire pour arriver à démontrer sans utiliser le calcul différentiel ? J'ai essayé durant un bon bout de temps sans résultats ...
    merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Une petite démonstration

    Si x, y et z sont positifs (sinon ça ne marche pas), il me paraît trivial que x²+1 >= 2 x
    La relation s'obtient en multipliant par les mêmes inégalités pour y et z. Non ?

  7. #6
    Bleyblue

    Re : Une petite démonstration

    Citation Envoyé par Moi
    Tiens par curiosité, quelqu'un voit-il comment faire pour arriver à démontrer sans utiliser le calcul différentiel ? J'ai essayé durant un bon bout de temps sans résultats ...
    Je voulais parler du premier problème (celui avec les a et les b)

    Pour celui-ci en effet l'auteur à aussi donné une solution sans utiliser le calcul différentiel (et oui j'ai oublié de préciser x,y,z positifs) en utilisant le fait que x² + 1 >= 2x oui

  8. #7
    Bloud

    Re : Une petite démonstration

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Tiens par curiosité, quelqu'un voit-il comment faire pour arriver à démontrer sans utiliser le calcul différentiel ? J'ai essayé durant un bon bout de temps sans résultats ...
    merci

    Est-ce qu'on ne pourrait pas faire un truc géométrique avec les barycentres ?
    Considérons les points pondérés B et B' d'abscisses respectives b et (1-b) et de poids (1-a) et a. On peut considérer leur barycentre dans la mesure où la somme des poids n'est pas nul. Si on note G leur barycentre alors son abscisse g est :



    On veut que

    a et b sont strictement positifs. Il est clair que si a et b sont supérieurs ou égal à 1, ce n'est pas possible (sinon (1-a) et (1-b) sont négatifs et donc . Supposons donc a et b inférieurs strictement à 1.

    Quand ,le point qui a le poids le plus élevé est B' (en effet : au vu des conditions posées).
    Donc, a priori, G est plus proche de B' que de B. Comme on, de plus, veut que , on peut résumer :

    Si alors (rappelons que b est compris entre 0 et 1) comme, , G est plus proche de B que de B' .

    Quand , alors le point qui a le plus grand poids est B donc G est plus proche de B. Mais en utilisant le même raisonnement que précédemment, on trouve que G est plus proche de B'.

    Ainsi, comme nous n'avons utilisé que des inégalités strictes, il ne reste plus que le cas . Dans ce cas-là, G est à égale distance de B et B'. Donc : , ce qui ne correspond à l'hypothèse que l'on avait posée au départ i.e .

    Finalement, on n'a jamais : a(1-b) et b(1-a) strictement supérieurs à . CQFD.

    D'après vous, le raisonnement que j'ai employé est-il correct?
    Dernière modification par Bloud ; 07/02/2006 à 11h23.
    I was born intelligent...education ruined me!

  9. #8
    Bloud

    Re : Une petite démonstration

    Citation Envoyé par Bloud
    Comme on, de plus, veut que , on peut résumer :

    Si alors (rappelons que b est compris entre 0 et 1) comme, , G est plus proche de B que de B' .
    J'ai oublié le cas . Dans ce cas-là. On a bien G plus proche de B'. (car . Or comme l'abscisse de G est :
    , on peut la majorer par : i.e : . Donc
    Il suffit alors de résoudre le système d'inéquations :

    qui n'a aucune solution.
    I was born intelligent...education ruined me!

  10. #9
    Bloud

    Re : Une petite démonstration

    Il y a un bug ave la commande \leq ; il faut bien entendu lire b inférieur ou égal à 1/2
    I was born intelligent...education ruined me!

  11. #10
    Bloud

    Re : Une petite démonstration

    Citation Envoyé par Bloud
    Quand , alors le point qui a le plus grand poids est B donc G est plus proche de B. Mais en utilisant le même raisonnement que précédemment, on trouve que G est plus proche de B'.
    Ou un système d'inéquations sans solution.
    I was born intelligent...education ruined me!

  12. #11
    roy95

    Re : Une petite démonstration

    Bonjour, pour démontrer que a(1-a) est inférieur ou égal à 1/4, pas besoin d'utiliser les dérivées.

    Il suffit d'écrire que:

    (a-1/2)2>=0

    et de développer

  13. #12
    Bloud

    Re : Une petite démonstration

    Effectivement c'est beaucoup plus simple!
    I was born intelligent...education ruined me!

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