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petite démonstration



  1. #1
    sylvainix

    petite démonstration


    ------

    Bonsoir à tous, je dois faire la démonstration de l'énoncé suivant "la distance entre l'opposé et l'inverse d'un nombre est toujours au moins égale à 2".

    J'ai beau tourner l'espression dans tous les sens, utiliser les valeurs absolues, je ne parviens pas au résultat.
    Si vous aviez une solution ...

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Quinto

    Re : petite démonstration

    C'est simple, décompose tout:

    la distance entre a et b c'est |a-b|
    L'inverse d'un nombre x c'est 1/x
    L'opposé d'u nombre x c'est -x

    donc la distance entre 1/x et -x c'est ??? si je l'appelle f(x) alors il suffit ensuite de résoudre f(x)>2.

  4. #3
    olle

    Re : petite démonstration

    soit le nombre x :

    opposé : -x
    inverse : 1/x

    distance d(x) = 1/x-(-x) = 1/x+x

    les extrémums de d(x) sont en x1 ssi d'(x1) = 0

    d'(x) = -1/x²+1 = 0 ssi x²=1

    et donc x1 = +ou- 1

    x = 1
    opposé : -1
    inverse : 1

    d(x1) = 1-(-1) = 2

    pour être rigoureux il faudrait aussi démontrer que cet extrémum est un minimum
    Dernière modification par olle ; 01/12/2004 à 22h54.

  5. #4
    sylvainix

    Re : petite démonstration

    Donc si je ne me trompe pas, cela donne f(x)= 1/x+x <=> (x²+1)/x>2,
    mais je ne vois pas comment résoudre (x²+1)/x>2, puisque je n'ai pas le droit de multiplier par x ...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Evil.Saien

    Re : petite démonstration

    et pourquoi pas ? Puisqu'on parle de distance on a x>0 donc pas de problème de signe

  8. #6
    pallas

    Re : petite démonstration

    psa d'accord x peut être négatif

  9. Publicité
  10. #7
    pallas

    Re : petite démonstration

    Attention c'est la valeur absolue car x peut être négatif!

  11. #8
    Evil.Saien

    Re : petite démonstration

    Ok !
    Prenons x > 0
    On a alors d = |1/x - (-x)| = 1/x + x > 0...
    Prenons y = -x
    d = |1/y - (-y)| = |-1/x - x| = 1/x + x !!! Pareil !!!
    Donc suffit de montrer la propriété pour tout x>0

  12. #9
    pallas

    Re : petite démonstration

    il suffit d'établir que valeur absolue de ( 1/x + x) > 2 En elavant au carré on a x²+1/x² + 2 > 4 soit x² + 1/ x² - 2> 0 oe x ²+ 1/ x² -2 = ( x -1/x)²
    donc prendre au départ la remarque : ( x-1/x)² >= 0 d'où etc pour arriver à ..
    A +

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