Bonsoir à tous, je dois faire la démonstration de l'énoncé suivant "la distance entre l'opposé et l'inverse d'un nombre est toujours au moins égale à 2".
J'ai beau tourner l'espression dans tous les sens, utiliser les valeurs absolues, je ne parviens pas au résultat.
Si vous aviez une solution ...
C'est simple, décompose tout:
la distance entre a et b c'est |a-b|
L'inverse d'un nombre x c'est 1/x
L'opposé d'u nombre x c'est -x
donc la distance entre 1/x et -x c'est ??? si je l'appelle f(x) alors il suffit ensuite de résoudre f(x)>2.
soit le nombre x :
opposé : -x
inverse : 1/x
distance d(x) = 1/x-(-x) = 1/x+x
les extrémums de d(x) sont en x1 ssi d'(x1) = 0
d'(x) = -1/x²+1 = 0 ssi x²=1
et donc x1 = +ou- 1
x = 1
opposé : -1
inverse : 1
d(x1) = 1-(-1) = 2
pour être rigoureux il faudrait aussi démontrer que cet extrémum est un minimum
Donc si je ne me trompe pas, cela donne f(x)= 1/x+x <=> (x²+1)/x>2,
mais je ne vois pas comment résoudre (x²+1)/x>2, puisque je n'ai pas le droit de multiplier par x ...
et pourquoi pas ? Puisqu'on parle de distance on a x>0 donc pas de problème de signe
psa d'accord x peut être négatif
Attention c'est la valeur absolue car x peut être négatif!
Ok !
Prenons x > 0
On a alors d = |1/x - (-x)| = 1/x + x > 0...
Prenons y = -x
d = |1/y - (-y)| = |-1/x - x| = 1/x + x !!! Pareil !!!
Donc suffit de montrer la propriété pour tout x>0
il suffit d'établir que valeur absolue de ( 1/x + x) > 2 En elavant au carré on a x²+1/x² + 2 > 4 soit x² + 1/ x² - 2> 0 oe x ²+ 1/ x² -2 = ( x -1/x)²
donc prendre au départ la remarque : ( x-1/x)² >= 0 d'où etc pour arriver à ..
A +
