problème logique implication/injection

[Vladzol]

Bonjour à tous,

auriez vous la gentillesse de me dire où se trouve l'erreur dans le raisonnement suivant (car je vois mal comment mon livre pourrait avoir tort sur un sujet aussi basique, c'est donc moi qui ai élaboré une connerie):

tiré du livre en question:

E et F ensembles [...] f est une application injective de E dans F; on a alors:

pour tout x1, x2 appartiennent à E x1 différent de x2 implique f(x1) différent de f(x2)

Bon, maintenant voilà le problème:

Soient P et Q deux proposition, la proposition P implique Q est par définition la proposition non-P ou Q, ce qui signifie que si non-P est vraie et que Q est vraie aussi, alors non-P implique Q est vraie; soit si P est fausse et Q est vraie, P implique Q est vraie.

Si l'on applique à l'énoncé concernant l'injection avec:

P: x1 différent de x2
Q: f(x1) différent de f (x2)

on obtient que la proposition:

x1=x2 implique f(x1) différent de f(x2) est vraie, ce que qui est impossible car dans la cadre d'un application, un élément de E ne possède qu'une seule image dans F...

merci d'avance de lire et de m'aider car malgré la basicité de la question, en ce qui me concerne:
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[invite4298f099]

c'est quoi ton problème en fait? comprendre les manipulations de logique ou la notion d'injectivité? et puis c'est quoi que tu tire d'un bouquin? uniquement le truc sur l'injectivité ou les trucs sur la logique de P et Q? ou les deux?

[Vladzol]

salut rémokub,

mon problème c'est que d'après ce que j'ai écrit la proposition servant à définir l'injection mène à un non sens; autrement dit (tant pis je me répète):

x1 différent de x2 implique f(x1) différent de f(x2) ne pourrait pas être vraie.

Je me représente sans difficulté la notion d'injection depuis bien longtemps, là dessus pas de problème.
Les trucs de logique de P et Q" se trouvent dans ce bouquin, mais pas seulement et je les connaissaient dejà.

PS: si vous trouvez mon message dépourvu de sens merci de me le dire je demanderai à le faire supprimer.

[invite6b1e2c2e]

Soient P et Q deux proposition, la proposition P implique Q est par définition la proposition non-P ou Q, ce qui signifie que si non-P est vraie et que Q est vraie aussi, alors non-P implique Q est vraie; soit si P est fausse et Q est vraie, P implique Q est vraie.

Je pense que là tu as écris quelque chose de faux.
Le problème n'est pas de savoir si quand Q vaut un certain truc et P un autre, alors on une implication. C'est plutot, étant donné toutes les valeurs possibles compatibles de P et Q, est-ce que la formule renvoie toujours Vrai.
Dans notre cas
f injective signifie (P implique Q).
i.e (non P ou Q), ou encore (f(x)<>f(y) ou x=y).
J'espère que ça t'a un peu éclairé.
__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Le problème n'est pas de savoir si quand Q vaut un certain truc et P un autre, alors on une implication.

On peut le faire, ça ne pose pas de problème. Mais dans ce cas on arrive à quelque chose qui ne sert à rien, à savoir:
Si f est injective et si x <> y, alors (x=y) => (f(x) <> f(y)) est une implication valide.
En gros si on part de quelque chose que l'on sait être faux on peut conclure ce qu'on veut, le raisonnement est valide, mais on a rien démontré pour autant.

[Vladzol]

matthias:

tu veux dire que comme ona posé précédemment x<>y alors x=y faux donc ons e fiche de cette proposition?

[invitec314d025]

Oui, c'est ça.

[Vladzol]

ok compris, merci

[Vladzol]

Et bien en fin de compte: NON, je persiste ET signe.

matthias: je ne voit de et nulle par, dans aucun livre.
On a juste si f injective, alors on a: blabla implique blabla.

Et j'ai un moyen de démontrer qu'il s'agit en réalité d'un équivalence, le voici:

f est une injection de E dans F si chaque élément de F a au plus un antécedent dans E.

On peut donc écrire:

"si x1<>x2 alors f(x1)<>f(x2)" vraie
"si x1<>x2 alors f(x1)=f(x2)" faux
"si x1=x2 alors f(x1)=f(x2)" vraie
"si x1=x2 alors f(x1)<>f(x2)" faux

on remplit les conditions de l'équivalence. Ma présente méthode peut paraître bizarre mais il y a encore bien des moyens de le démontrer, aussi bien en français qu'en maths.

Il ne s'agit pas véritablement d'une équivalence. L'équivalence est employée dans ce cas uniquement dans le sens intuitif "si X est vrai alors Y est vrai", mais on laisse de côté d'autres possibilités ne respectant pas la définition précédemment donné de l'injection.

[Vladzol]

Un autre argument:

soient les deux propositions "x1=x2" et "f(x1)=f(x2)" sont vraies toutes les deux, soient elles sont toutes les deux fausses.

C'est la définition de l'équivalence.

[Vladzol]

Faute très grave dans le message de 00H12:

ilo faut remplacer "équivalence" par "implication" dans le dernier paragraphe.
merci à la modération si c'est possible...

[invitec314d025]

Je ne comprends pas le rapport avec ce que tu disais précédemment. Tu essaies de montrer quoi ?

[inviteeac53e14]

Je crois comprendre ce qu'il veut dire. Tu me diras si je me trompe. Si f est injective alors :
f(x) = f(y) x = y.

Si c'est ça que tu as voulu dire, je comprends mais l'implication de droite à gauche est tout à fait banale et sans aucun intérêt. Elle veut juste dire que tout point à une seule image par une fonction (et heureusement! cela correspond à la définition d'une fonction). En conclusion, elle n'apporte aucun renseignement sur l'injectivité d'une fonction!

[invite9577bb43]

Bonjour à tous,

auriez vous la gentillesse de me dire où se trouve l'erreur dans le raisonnement suivant (car je vois mal comment mon livre pourrait avoir tort sur un sujet aussi basique, c'est donc moi qui ai élaboré une connerie):

tiré du livre en question:

E et F ensembles [...] f est une application injective de E dans F; on a alors:

pour tout x1, x2 appartiennent à E x1 différent de x2 implique f(x1) différent de f(x2)

Bon, maintenant voilà le problème:

Soient P et Q deux proposition, la proposition P implique Q est par définition la proposition non-P ou Q, ce qui signifie que si non-P est vraie et que Q est vraie aussi, alors non-P implique Q est vraie; soit si P est fausse et Q est vraie, P implique Q est vraie.

Si l'on applique à l'énoncé concernant l'injection avec:

P: x1 différent de x2
Q: f(x1) différent de f (x2)

on obtient que la proposition:

x1=x2 implique f(x1) différent de f(x2) est vraie, ce que qui est impossible car dans la cadre d'un application, un élément de E ne possède qu'une seule image dans F...

merci d'avance de lire et de m'aider car malgré la basicité de la question, en ce qui me concerne:

Bonjour à tous !
Je vais essayer de répondre à Vladzol :
Il me semble que tu t'es "autopiégé" dans le sens que l'injectivité se traduit par
"Quels que soient x1 et x2 éléments de E ( ensemble de départ de f ) l'imlpication
( x1 est distinct de x2 ) implique ( f(x1) est différent de f(x2) ) est vraie"
Ceci signifie que si l'on se donne x1 et x2 quelconques dans E alors de deux choses l'une :
-ou bien x1=x2
-ou bien ( x1 est différent de x2 et f(x1) est différent
de f(x2) )
Mais cela je pense que tu le savais ...
Le problème viens ( il me semble) du fait que tu profites de ce que l'implication
( P implique Q) se traduit ( en logique formelle ) par
( Non(P) ou Q) et que donc elle est vraie dans tous les cas particuliers où P est fausse ...
pour la remplacer par le texte
( Non(P) implique Q)
tu as un peu exagéré!
Merci de m'avoir lu et à une prochaine fois ...j'espère!

[invite35452583]

Faisons simple
Je décompose ton message :

Soient P et Q deux proposition,
la proposition P implique Q
est par définition la proposition
non-P ou Q,
ce qui signifie que
1) si non-P est vraie et que Q est vraie aussi,
alors non-P implique Q est vraie;
2) soit si P est fausse et Q est vraie, P implique Q est vraie.

Si l'on applique à l'énoncé concernant l'injection avec:


P: x1 différent de x2
Q: f(x1) différent de f (x2)

on obtient que la proposition:

x1=x2 implique f(x1) différent de f(x2) est vraie,

Oui quand x1 est différent de x2 et que f(x1) différent de f(x2) est vraie seul cas que tu as envisagé!
Ta "contradiction" envisage lui les cas où x1=x2