Décomposition en éléments simples

[invite17f34d92]

svp
j essaie de trouver les inconnu a b c et d et je ne trouve que b.apres quand je veux determiner a je trouve dans b l infini et je ne sais pas comment faire pour trouver c et d???
j ai trouver b=1/3
1/(X¨2+X+1)(X-1)¨2=(a/X-1)+(b/(X-1)¨2)+(cX+d/X¨2+X+1)
merci d avance est si vous pouvez me le detailler!!
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[phryte]

Bonjour.
b=1/3 OK
a=-1/3
....

[pat7111]

j ai trouver b=1/3

OK



Multiplie tout par un polynome de degre 1 et fait tendre X vers l'infini. Cela donnera une relation entre a et c

Ensuite, il y a foule de methodes...

• Bourrin mais qui doit bien marcher dans ce cas. Il reste deux inconnues (d et (a ou c)), on peut les trouver en evaluant toute l'expression en deux points bien choisis. Personnellement, je choisirais X = 0 et X = 2.
• Connaissant b, tu peux passer le terme a gauche. Comme la decomposition est unique, on aura , donc en simplifiant le terme de gauche (modulo les erreurs de calcul...) , 1 ne devrait plus etre que pole simple simple. On sait alors trouver a, d'ou c avec la relation trouvee precedemment et pour d j'evaluerais le tout en 0
• Multiplie toute l'expression par . En evaluant en 1, c'est comme cela que tu as du trouver b. En derivant, b disparait, a se retrouve tout seul et le gros bazar a ne surtout pas expliciter. Donc en evaluant en X = 1, on obtient a. Pour d, cf precedemment.
• Dans le cas general, pour les poles multiples, il existe la methode de division selon les puissances croissantes dont je ne me souviens plus mais ce serait un marteau pilon pour ecraser une mouche et est AMHA a eviter sauf ordre vraiment eleve,

[Rhodes77]

Euh c'est peut-être archi-bête ce que je vais dire, mais si on met tous les termes sur le même dénominateur, càd celui présent dans le membre de gauche, on obtient deux fractions dont les dénominateurs sont égaux, il suffit alors que les numérateurs s'égalisent. On sera en présence d'un polynôme de degré 3 à 4 inconnues, on identifie les puissances une à une, on obtient un système de 4 inconnues à 4 équations...
Perso je trouve b=c=d=-a=1/3.
Il y a quelque chose de choquant ? Je suis passé à côté d'un truc ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[phryte]

b=c=d=-a=1/3.

C'est OK. Je trouve pareil.

[pat7111]

on obtient un système de 4 inconnues à 4 équations...

Oui pourquoi pas... Mais b et la relation entre a et c sont triviales. Ensuite resoudre un systeme 2x2 est beaucoup plus simple (du moins rapide) qu'un 4x4.

Et s'il y avait 10 coefficients, tu resoudrais un systeme de 10 equations a 10 inconnues ? Par ailleurs, pour que le systeme nxn soit solvable, il faut que les equations soient independantes ce qui n'est pas forcement le cas en prenant des valeurs particulieres (a moins de prendre des valeurs completement tordues mais ca ne va pas simplifier les calculs).

[Rhodes77]

Oui ben j'aurais trouvé une autre astuce pour n=10, mais là c'est rapide et pratique, moi je dis ça pour aider hein... mais oui, c'est important de connaître les autres méthodes, je n'ai jamais dit le contraire

[invite17f34d92]

svp pourriez vous me detailler je suis un px noob

[pat7111]

Parmi beaucoup d'autres possibilites (le tout etant d'arriver en un temps fini a la solution juste) :



d'ou par exemple en multipliant par (X-1) \*Avec un peu de pratique, pas besoin d'ecrire cette etape, ca se voit*\

Tu fais tendre X vers l'infini, a gauche ca tend vers 0, a droite ca tend vers a+c d'ou

Apres, je ferais

X = 0 dans l'expression de depart, d'ou soit avec la valeur connue de b

X = -1 dans l'expression de depart, d'ou , d'ou ... apres arrangements

2 eq, 2 inconnues... on resoud

[invite17f34d92]

merci ****************************** *