Diagonalisation

[invite518bf0a0]

Bonjour,

J'ai plusieurs questions à poser sur des points de la démarche à suivre pour la diagonalisation d'une matrice 3x3.

1-Concernant les valeurs propres

Je sais que les valeurs propres de la matrice sont les racines de son polynôme caractéristique P(x) = |A-xId|.
Ma première question c'est comment calculer les racines de ce polynômes si elles ne sont pas évidentes (je n'ai pas d'exemple de ce type dans mon cours).
En gros si j'ai P(x) = x^3-12x²-17 par exemple, comment faire pour trouver les racines? (Question 1)
Est-il possible d'avoir un polynôme caractéristique de degrés >3 pour une matrice 3x3? (Question 2)

2-Etapes pour la diagonalisation
Si j'ai bien compris, pour pouvoir affirmer que A est diagonalisable, il faut que pour chaque valeur propre (Wi) j'ai :
dim(E(Wi))=ni où ni est l'ordre de multiplicité de la racine (et de la valeur propre ce qui est la même chose).

A ce niveau là j'ai de nouvelles questions, comment déterminer l'ordre de multiplicité des racines? (Question 3)
Si j'ai un polynôme -x^3+4x²-5x+2 ; j'ai 1 et 2 racines évidentes, comment faire pour trouver la 3e ou celle qui est double (Question 4)

Enfin j'ai dim(E(Wi))=rang(A)-rang[A-(Wi)]
Je ne comprend pas la différence entre le rang d'une matrice et sa dimension, est-ce la même chose?
Pour la dimension je sais que si le déterminant vaut 0 la dimension est 3, sinon on calcule ensuite les determinants 2x2 qui la compose et si un seul est différent de 0 alors dim=2 sinon dim=1 mais est-ce aussi le rang? (Question 5)

Je vous remercie par avance beaucoup pour votre aide.
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[Flyingsquirrel]

Salut,

J'ai créé cette discussion à partir de ton message. Quand tu as une question il vaut mieux ouvrir un nouveau fil plutôt que de la poser dans un fil en sommeil depuis plus de trois ans.

Pour la modération, Flyingsquirrel.

[invitea3eb043e]

Le degré du polynôme est forcément égal à la dimension de la matrice, ça tient à la façon dont il est construit.
Pour trouver les racines, pas de miracle : ou elles sont évidentes, ou il faut trouver une valeur numérique. Aux degrés 3 et 4, il y a bien des méthodes genre Cardan, mais dans la pratique, c'est de peu d'utilité.
Trouver la multiplicité est simple : si les racines sont 1, 2 et 2, 1 est simple et 2 est double.
Quand on connaît une racine, disons a, on peut diviser le polynôme par (x-a) et ça fait baisser le degré. Si tu as 2 racines sur 3, c'est plus simple car la somme des racines vaut -b/a de ton polynôme.

[invite518bf0a0]

Comment 2 peut-il être doublement racine?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite518bf0a0]

Je ne comprend pas pourquoi les racines sont 1, 2 et 2 ; pourquoi deux fois 2 en fait?

[invite00970985]

Pour avoir les racines sans trop de fatigué, en général tu peux calculer le déterminant de façon siouks (en s'arrangeant pour faire "apparaître" le maximum de 0 sur une ligne ou colonne donnée). Si tu t'en sors bien (et que ton prof est relativement gentil en te mettant de gentilles matrices), tu trouves directement ton polynôme factorisé.

Pour 3 qui est "2 fois racine", par exemple dans le polynome (x-1)(x-3)², 3 est "deux fois racine", c'est une racine double, on dit aussi que son ordre de multiplicité est de 2 ; on peut écrire le polynome : (x-1)(x-3)(x-3).

Le rang, ce n'est pas la dimension (cf recherche google). En général pour le déterminer, j'applique l'algorithme de Gauss pour "trianguler" la matrice, ce qui donne immédiatement le rang ; mais il existe pleins de méthodes, on peut aussi parfois "regarder" la matrice et déterminer directement son rang dans des cas simples, comme :
1 2 0
2 4 0
0 0 1
Ici les 2 premières colonnes sont clairement liées (la 2eme est le double de la premiere) et la troisième complètement indépendante, le rang de la matrice est donc de 2 (on a 2 vecteurs indépendants).

[invite63855a3d]

exemple si tu as a calculer les racines du polynome x^3-5x²+8x-4 qu'on peux écrire (x-1)(x-2)²ou encore (x-1)(x-2)(x-2)
on voit bien que x=1et x=2etx=2son les racine du polynome cité
ainsi 1est racine simple(ordre de multiplicité est un
2est racine double(ordre de multiplicité est deux

[invite518bf0a0]

D'accord, merci pour toutes ces précisions.

[invite518bf0a0]

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[invite518bf0a0]

Bonsoir,

je voulais aussi demander ceci :

si j'ai une matrice telle que A=


a b c
d e f
g h i

det(A) = |A| = a(ei-hf) - b(di-gf) + c (dh-ge)

Comment se nomme le nom de cette méthode de calcul du determinant svp? Je sais qu'il y a la méthode de Sarrus aussi mais celle-là je ne connais pas le nom...

[invite5c27c063]

Comment se nomme le nom de cette méthode de calcul du determinant svp?

Je dirais "developpement selon la premiere ligne"

[invite518bf0a0]

Oui merci mais bon je voulais dire la méthode générale qui consiste à prendre les 3 nombre d'une même ligne ou même colonne et de les multiplier par les mineurs en alternant le signe, ça n'a pas de nom?